Vedieť odhadnúť pravdepodobnosť udalosti na základe kurzov je nevyhnutné pre výber správnej stávky. Ak nerozumiete, ako preložiť stávkové kurzy na kurzy, nikdy nebudete môcť určiť, aké sú stávkové kurzy v porovnaní so skutočnými kurzami, že sa udalosť uskutoční. Malo by byť zrejmé, že ak je pravdepodobnosť udalosti podľa stávkových kancelárií nižšia ako pravdepodobnosť rovnakej udalosti podľa vašej vlastnej verzie, stávka na túto udalosť bude hodnotná. Na webovej stránke Odds.ru si môžete porovnať kurzy na rôzne udalosti.

1.1. Typy koeficientov

Stávkové kancelárie zvyčajne ponúkajú tri typy kurzov – desiatkové, zlomkové a americké. Poďme sa pozrieť na každú z odrôd.

1.2. Desatinný kurz

Desatinný kurz po vynásobení veľkosťou stávky vám umožní vypočítať celú sumu, ktorú v prípade výhry dostanete na ruku. Napríklad, ak vsadíte 1 dolár s kurzom 1,80, ak vyhráte, dostanete 1,80 dolára (1 dolár je vrátená suma stávky, 0,80 dolára je výhra zo stávky, ktorá je zároveň vaším čistým ziskom).

To znamená, že pravdepodobnosť výsledku je podľa stávkových kancelárií 55%.

1.3. Zlomkové kurzy

Zlomkové kurzy sú najtradičnejším druhom kurzov. Čitateľ zobrazuje potenciálnu výšku čistých výhier. Menovateľ je výška stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali práve túto výhru. Napríklad kurz 7/2 znamená, že ak chcete získať čistú výhru 7 USD, musíte staviť 2 USD.

Na výpočet pravdepodobnosti udalosti na základe desatinného koeficientu by sa mal vykonať jednoduchý výpočet - menovateľ sa vydelí súčtom čitateľa a menovateľa. Pre vyššie uvedený koeficient 7/2 bude výpočet nasledovný:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

To znamená, že pravdepodobnosť výsledku je podľa stávkových kancelárií 22%.

1.4. americké kurzy

Tento typ pomeru je populárny v Severná Amerika. Na prvý pohľad vyzerajú dosť komplikovane a nezrozumiteľne, ale nebojte sa. Pochopenie amerických kurzov môže byť užitočné napríklad pri hraní v amerických kasínach, aby ste pochopili úvodzovky zobrazované v severoamerických športových prenosoch. Poďme zistiť, ako vyhodnotiť pravdepodobnosť výsledku na základe amerických kurzov.

Najprv musíte pochopiť, že americké kurzy sú pozitívne a negatívne. Záporné americké kurzy sú vždy vo formáte, napríklad „-150“. To znamená, že na získanie 100 dolárov čistý zisk(výhra), musíte staviť 150 $.

Kladný americký koeficient sa počíta opačne. Napríklad máme koeficient „+120“. To znamená, že ak chcete získať čistý zisk 120 $ (výhru), musíte staviť 100 $.

Výpočet pravdepodobnosti založený na záporných amerických kurzoch sa vykonáva pomocou nasledujúceho vzorca:

(-(záporný americký kurz)) / ((-(záporný kurz USA)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti, pre ktorú je uvedený záporný americký koeficient „-150“, je 60 %.

Teraz zvážte podobné výpočty pre kladný americký koeficient. Pravdepodobnosť sa v tomto prípade vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:

100 / (kladný americký kurz + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti, pre ktorú je daný kladný americký koeficient „+120“, je 45 %.

1.5. Ako previesť koeficienty z jedného formátu do druhého?

Schopnosť prekladať kurzy z jedného formátu do druhého vám môže dobre poslúžiť neskôr. Napodiv, stále existujú stávkové kancelárie, v ktorých sa kurzy neprepočítavajú a zobrazujú sa len v jednom formáte, čo je pre nás nezvyčajné. Pozrime sa na príklady, ako to urobiť. Najprv sa však musíme naučiť vypočítať pravdepodobnosť výsledku na základe koeficientu, ktorý nám bol daný.

1.6. Ako vypočítať desatinný koeficient na základe pravdepodobnosti?

Všetko je tu veľmi jednoduché. Je potrebné vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. To znamená, že ak je odhadovaná pravdepodobnosť udalosti 60 %, musíte:

Pri odhadovanej pravdepodobnosti udalosti 60% by bol desatinný kurz 1,66.

1.7. Ako vypočítať zlomkový koeficient na základe pravdepodobnosti?

V tomto prípade je potrebné vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti a odpočítať jednu od získaného výsledku. Napríklad pravdepodobnosť udalosti je 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

To znamená, že dostaneme zlomkový koeficient 1,5/1 alebo pre pohodlie počítania - 3/2.

1.8. Ako vypočítať americký koeficient na základe pravdepodobného výsledku?

Tu bude veľa závisieť od pravdepodobnosti udalosti – či to bude viac ako 50 % alebo menej. Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná podľa nasledujúceho vzorca:

- ((pravdepodobnosť) / (100 - pravdepodobnosť)) * 100

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 80 %, potom:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

S odhadovanou pravdepodobnosťou udalosti 80% sme dostali negatívny americký koeficient "-400".

Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50 percent, vzorec bude nasledujúci:

((100 - pravdepodobnosť) / pravdepodobnosť) * 100

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 40 %, potom:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

S odhadovanou pravdepodobnosťou udalosti 40% sme dostali kladný americký koeficient „+150“.

Tieto výpočty vám pomôžu lepšie pochopiť pojem stávky a kurzy, naučiť sa vyhodnotiť skutočnú hodnotu konkrétnej stávky.

Vo svojom blogu preklad ďalšej prednášky kurzu „Principles of Game Balance“ od herného dizajnéra Jana Schreibera, ktorý pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: the Mansion.

Až do dnešného dňa bolo takmer všetko, o čom sme hovorili, deterministické a minulý týždeň sme sa bližšie pozreli na tranzitívnu mechaniku a rozobrali sme ju tak podrobne, ako len viem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť iným aspektom mnohých hier, a to nedeterministickým momentom - inými slovami náhodnosti.

Pochopenie podstaty náhodnosti je pre herných dizajnérov veľmi dôležité. Vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú používateľskú skúsenosť v danej hre, preto musíme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak je v systéme náhodnosť, musíme pochopiť podstatu tejto náhodnosti a vedieť, ako ju zmeniť, aby sme dosiahli výsledky, ktoré potrebujeme.

Kocky

Začnime niečím jednoduchým – hádzaním kociek. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, predstaví si šesťstennú kocku známu ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho iných kociek: štvorstranné (d4), osemstenné (d8), dvanásťstenné (d12), dvadsaťstenné (d20). Ak ste skutočný geek, možno máte niekde 30- alebo 100-zrnové kocky.

Ak túto terminológiu nepoznáte, d znamená kocku a číslo za ňou je počet jej tvárí. Ak je číslo pred d, znamená to počet kociek pri hode. Napríklad v hre Monopoly hádžete 2k6.

Takže v tomto prípade fráza "kocky" - symbol. Existuje obrovské množstvo iných generátorov náhodných čísel, ktoré nevyzerajú ako plastové figúrky, ale plnia rovnakú funkciu – generujú náhodné číslo od 1 do n. Obyčajnú mincu možno znázorniť aj ako dvojstennú kocku d2.

Videl som dva návrhy sedemstennej kocky: jeden vyzeral ako kocka a druhý vyzeral skôr ako sedemstenná drevená ceruzka. Tetraedrický dreidel, tiež známy ako titotum, je analógom tetraedrickej kosti. Hracia doska s rotujúcou šípkou v Chutes & Ladders, kde výsledok môže byť od 1 do 6, zodpovedá šesťstennej kocke.

Generátor náhodných čísel v počítači môže vytvoriť ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak návrhár zadá takýto príkaz, hoci počítač nemá 19-hrannú kocku (vo všeobecnosti budem hovoriť viac o pravdepodobnosti čísel na počítači pri budúci týždeň). Všetky tieto položky vyzerajú odlišne, ale v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu na každú z niekoľkých možné výsledky.

Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť získania niektorej z tvárí je rovnaká (predpokladám, že hádžete pravidelnou geometrickou kockou). Ak chcete poznať priemernú hodnotu hodu (známu ako matematické očakávanie pre tých, ktorí majú radi teóriu pravdepodobnosti), spočítajte hodnoty na všetkých hranách a vydeľte toto číslo počtom hrán.

Súčet hodnôt všetkých stien pre štandardnú šesťstennú kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vydeľte 21 počtom stien a získajte priemernú hodnotu hodu: 21 / 6 = 3,5. Toto špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.

Čo ak máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šesťhrannou kockou so špeciálnymi nálepkami na tvárach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá skôr hodí číslo 1 ako 2 a je pravdepodobnejšie, že padne 2 ako 3. Aká je priemerná hodnota hodu pre túto kocku? Takže 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, vydeľte 6 - dostanete 5/3 alebo približne 1,66. Ak teda máte špeciálnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom sčítajú výsledky, viete, že ich súčet bude asi 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vyvážiť.

Kocky a nezávislosť

Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že vypadnutie každej tváre je rovnako pravdepodobné. Nezáleží na tom, koľko kociek tu hodíte. Každý hod kockou je nezávislý, čo znamená, že predchádzajúce hody neovplyvňujú výsledky nasledujúcich hodov. S dostatočným počtom pokusov si určite všimnete sériu čísel – napríklad hádzanie väčšinou vyšších alebo nižších hodnôt – alebo iné vlastnosti, ale to neznamená, že sú kocky „horúce“ alebo „studené“. O tom si povieme neskôr.

Ak hodíte štandardnou šesťstennou kockou a číslo 6 padne dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že výsledkom ďalšieho hodu bude 6, je tiež 1/6. Pravdepodobnosť sa nezvyšuje, pretože kocka sa "zahriala" ". Pravdepodobnosť sa zároveň neznižuje: je nesprávne tvrdiť, že číslo 6 už vypadlo dvakrát za sebou, čo znamená, že teraz musí vypadnúť ďalšia tvár.

Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a zakaždým padne číslo 6, šanca, že dvadsiaty prvý raz padne 6, je dosť vysoká: možno máte len nesprávnu kocku. Ak je však kocka správna, pravdepodobnosť získania každej z tvárí je rovnaká, bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že kocku meníme zakaždým: ak číslo 6 hodilo dvakrát za sebou, odstráňte „horúcu“ kocku z hry a nahraďte ju novou. Ospravedlňujem sa, ak o tom niekto z vás už vedel, ale potreboval som to objasniť, kým sa pohnem ďalej.

Ako urobiť hod kockou viac-menej náhodne

Poďme si povedať, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Ak hodíte kockou len raz alebo niekoľkokrát, hra sa bude zdať náhodnejšia, keď bude mať kocka viac hrán. Čím častejšie hádžete kockou a čím viac kociek hádžete, tým viac sa výsledky približujú k priemeru.

Napríklad v prípade 1k6 + 4 (teda ak raz hodíte štandardnou šesťstennou kockou a k výsledku pripočítate 4), priemer bude číslo medzi 5 a 10. Ak hodíte 5k2, priemer bude aj číslo medzi 5 a 10. Výsledkom hodenia 5d2 budú väčšinou čísla 7 a 8, menej často iné hodnoty. Rovnaká séria, dokonca rovnaká priemerná hodnota (7,5 v oboch prípadoch), ale charakter náhodnosti je odlišný.

Počkaj minútu. Nepovedal som práve, že kocky sa „nezahrievajú“ ani „nechladia“? A teraz hovorím: ak hodíte veľa kociek, výsledky hodov sú bližšie k priemernej hodnote. prečo?

Nechaj ma vysvetliť. Ak hodíte jednou kockou, pravdepodobnosť, že sa objavia všetky tváre, je rovnaká. To znamená, že ak v priebehu času hodíte veľa kociek, každá tvár sa objaví približne rovnako. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa bude celkový výsledok približovať k priemeru.

Nie je to preto, že by hodené číslo "spôsobilo" hodenie iného čísla, ktoré ešte nebolo hodené. Pretože malá séria hodu čísla 6 (alebo 20, alebo nejakého iného čísla) v konečnom dôsledku veľa nezmení, ak kockou hodíte ešte desaťtisíckrát a väčšinou ide o priemer. Teraz ich budete mať niekoľko veľké čísla, a neskôr pár drobných – a časom sa priblížia k priemernej hodnote.

Nie je to preto, že by predchádzajúce hody ovplyvnili kocky (vážne, kocka je vyrobená z plastu, nemá mozog na to, aby si pomyslela: „Ach, už je to dávno, čo prišla dvojka“), ale preto, že sa to zvyčajne stáva s množstvom hodov.hranie kociek.

Je teda celkom jednoduché robiť výpočty na jeden náhodný hod kockou – podľa najmenej, vypočítajte priemernú hodnotu hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať „ako je niečo náhodné“ a povedať, že výsledky hodu 1k6 + 4 budú „náhodnejšie“ ako 5k2. Pre 5d2 budú hodené výsledky rozdelené rovnomernejšie. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať smerodajnú odchýlku: čím väčšia hodnota, tým náhodnejšie budú výsledky. Nerád by som dnes dával toľko výpočtov, túto tému vysvetlím neskôr.

Jediná vec, ktorú vás chcem požiadať, aby ste si zapamätali, je, že vo všeobecnosti platí, že čím menej kociek hodíte, tým viac náhodných. A čím viac hrán má kocka, tým viac náhodnosti, keďže viac možnosti hodnoty.

Ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou počítania

Možno sa pýtate: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť konkrétneho výsledku? V skutočnosti je to pre mnohé hry dosť dôležité: ak hodíte kockou na začiatku, je pravdepodobné, že bude nejaký optimálny výsledok. Odpoveď znie: musíme vypočítať dve hodnoty. Po prvé, celkový počet výsledkov pri hode kockou a po druhé, počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte výsledok 100.

Príklady

Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete hodiť 4 alebo vyššie a raz hodiť šesťstennou kockou. Maximálny počet výsledkov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 výsledky (4, 5, 6) sú priaznivé. Na výpočet pravdepodobnosti teda vydelíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.

Tu je príklad, ktorý je trochu komplikovanejší. Chcete, aby hod 2k6 priniesol párne číslo. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 možností pre každú kocku, jedna kocka neovplyvňuje druhú, takže vynásobíme 6 x 6 a dostaneme 36). Problém s týmto typom otázok je, že je ľahké počítať dvakrát. Napríklad pri hode 2k6 sú dva možné výsledky 3: 1+2 a 2+1. Vyzerajú rovnako, rozdiel je však v tom, ktoré číslo je zobrazené na prvej kocke a ktoré na druhej.

Môžete si tiež predstaviť, že kocky rôzne farby: tak napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená, druhá modrá. Potom spočítajte počet možných výskytov párneho čísla:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36 - ako v predchádzajúcom prípade je pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.

Simulácia Monte Carlo

Čo ak máte na tento výpočet príliš veľa kociek? Napríklad, chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že pri hode 8k6 padne celkovo 15 alebo viac. Pre osem kociek existuje obrovské množstvo rôznych výsledkov a ich manuálne počítanie by trvalo veľmi dlho – aj keď by sme našli nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sérií hodov kockami.

V tomto prípade je najjednoduchšie nepočítať manuálne, ale použiť počítač. Existujú dva spôsoby, ako vypočítať pravdepodobnosť na počítači. Prvý spôsob môže získať presnú odpoveď, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač si každú príležitosť pozrie, vyhodnotí a spočíta Celkom iterácií a počtu iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku, a potom poskytnite odpovede. Váš kód môže vyzerať asi takto:

Ak nie ste programátor a namiesto presnej odpovede chcete približnú odpoveď, môžete si túto situáciu nasimulovať v Exceli, kde pár tisíckrát hodíte 8d6 a dostanete odpoveď. Na hodenie 1d6 v Exceli použite vzorec =FLOOR(RAND()*6)+1.

Situáciu, keď nepoznáte odpoveď a len to mnohokrát skúšate, má názov – simulácia Monte Carlo. Toto je skvelé riešenie, ku ktorému sa môžete vrátiť, keď je príliš ťažké vypočítať pravdepodobnosť. Skvelé je, že v tomto prípade nemusíme rozumieť tomu, ako matematika funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože ako už vieme, čím viac hodov, tým viac sa výsledok približuje priemerná hodnota.

Ako skombinovať nezávislé pokusy

Ak sa pýtate na viacero opakovaných, ale nezávislých pokusov, potom výsledok jedného hodu neovplyvní výsledok ostatných hodov. Pre túto situáciu existuje ešte jedno jednoduchšie vysvetlenie.

Ako rozlíšiť medzi niečím závislým a nezávislým? V zásade, ak môžete izolovať každý hod (alebo sériu hodov) kockou ako samostatnú udalosť, potom je nezávislý. Napríklad hodíme 8k6 a chceme hodiť celkovo 15. Túto udalosť nemožno rozdeliť na niekoľko nezávislých hodov kockou. Ak chcete získať výsledok, vypočítate súčet všetkých hodnôt, takže výsledok hodený jednou kockou ovplyvní výsledky, ktoré by sa mali hodiť na ostatných.

Tu je príklad nezávislých hodov: hráte kockou a niekoľkokrát hádžete šesťstennou kockou. Prvý hod musí hodiť 2 alebo vyššie, aby ste zostali v hre. Pre druhú rolku - 3 alebo vyššie. Tretí vyžaduje 4 alebo viac, štvrtý vyžaduje 5 alebo viac a piaty vyžaduje 6. Ak je všetkých päť hodov úspešných, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky hody nezávislé. Áno, ak jeden hod zlyhá, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod neovplyvní druhý. Ak je napríklad váš druhý hod kockou veľmi dobrý, neznamená to, že ďalšie hody budú rovnako dobré. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou samostatne.

Ak máte nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že nastanú všetky udalosti, určíte každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ju. Iný spôsob: ak spojkou „a“ popíšete niekoľko podmienok (napríklad aká je pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti a inej nezávislej náhodnej udalosti?) – vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.

Nezáleží na tom, čo si myslíte – nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je častý omyl. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, keď si hodíte mincou a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Pravdepodobnosť vypadnutia z každej strany je 50%. Ak spočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu získať hlavy, ale vieme, že to nie je pravda, pretože môžu prísť dva po sebe idúce chvosty. Ak namiesto toho vynásobíte dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 % – čo je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti, že dostanete hlavy dvakrát za sebou.

Príklad

Vráťme sa k hre šesťstenných kociek, kde treba najprv hodiť číslo väčšie ako 2, potom viac ako 3 – a tak ďalej až do 6. Aké sú šance, že v danej sérii piatich hodov budú všetky budú výsledky priaznivé?

Ako už bolo spomenuté vyššie, ide o nezávislé pokusy, preto vypočítame pravdepodobnosť pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobíme. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Tretia - 3.6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Všetky výsledky navzájom vynásobíme a dostaneme približne 1,5 %. Výhry v tejto hre sú pomerne zriedkavé, takže ak do svojej hry pridáte tento prvok, budete potrebovať dosť veľký jackpot.

Negácia

Tu je ďalší užitočný tip: niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde, ale je jednoduchšie určiť pravdepodobnosť, že k udalosti nedôjde. Predpokladajme napríklad, že máme inú hru: hodíte 6k6 a vyhráte, ak aspoň raz hodíte 6. Aká je pravdepodobnosť výhry?

V tomto prípade je potrebné zvážiť veľa možností. Je možné, že vypadne jedno číslo 6, teda na jednej z kociek padne číslo 6 a na ostatných čísla od 1 do 5, potom je 6 možností, ktorá z kociek bude mať a 6. Číslo 6 môžete získať na dvoch kockách, troch alebo aj viacerých a zakaždým budete musieť vykonať samostatný výpočet, takže sa tu ľahko zmiasť.

Pozrime sa však na problém z druhej strany. Prehráte, ak žiadna z kociek nepadne 6. V tomto prípade máme 6 nezávislých pokusov. Pravdepodobnosť, že každá z kociek hodí iné číslo ako 6, je 5/6. Vynásobte ich - a získajte približne 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda jedna ku trom. Pravdepodobnosť výhry je teda 67 % (alebo dve až tri).

Z tohto príkladu je zrejmé, že ak počítate pravdepodobnosť, že k udalosti nedôjde, musíte výsledok odpočítať od 100 %. Ak je pravdepodobnosť výhry 67 %, potom je pravdepodobnosť prehry 100 % mínus 67 % alebo 33 % a naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale je ľahké vypočítať opačnú, vypočítajte opak a potom odčítajte toto číslo od 100%.

Podmienky pripojenia pre jeden nezávislý test

O niečo skôr som povedal, že by ste nikdy nemali sčítať pravdepodobnosti v nezávislých skúškach. Existujú prípady, kedy je možné sčítať pravdepodobnosti? Áno, v jednej konkrétnej situácii.

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť viacerých nesúvisiacich priaznivých výsledkov v tej istej štúdii, spočítajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť hodenia 4, 5 alebo 6 na 1k6 sa rovná súčtu pravdepodobnosti hodenia 4, pravdepodobnosti hodenia 5 a pravdepodobnosti hodenia 6. Táto situácia možno znázorniť takto: ak v otázke pravdepodobnosti použijete spojenie „alebo“ (napríklad, aká je pravdepodobnosť jedného alebo druhého výsledku jednej náhodnej udalosti?) - vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a spočítajte ich.

Upozornenie: Keď vypočítate všetky možné výsledky hry, súčet pravdepodobnosti ich výskytu sa musí rovnať 100 %, inak bol váš výpočet vykonaný nesprávne. Toto dobrý spôsob prekontrolujte svoje výpočty. Napríklad ste analyzovali pravdepodobnosť získania všetkých kombinácií v pokri. Ak spočítate všetky výsledky, ktoré dostanete, mali by ste dostať presne 100 % (alebo aspoň hodnotu blízku 100 %: ak používate kalkulačku, môže sa vyskytnúť malá chyba zaokrúhľovania, ale ak sčítate presné čísla manuálne, všetko by malo sedieť). Ak sa súčet nezhoduje, potom ste s najväčšou pravdepodobnosťou nebrali do úvahy niektoré kombinácie alebo nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a výpočty je potrebné prekontrolovať.

Nerovnaké pravdepodobnosti

Doteraz sme predpokladali, že každá strana kocky vypadáva s rovnakou frekvenciou, pretože takto kocka funguje. Ale niekedy sa môžete stretnúť so situáciou, keď sú možné rôzne výsledky a majú rôzne šance na vypadnutie.

Napríklad v jednom z dodatkov kartová hra Nuclear War má hracie pole so šípkou, ktorá určuje výsledok odpálenia rakety. Najčastejšie spôsobí normálne poškodenie, väčšie alebo menšie, ale niekedy sa poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa vybuchne na odpaľovacej rampe a ublíži vám, alebo dôjde k inej udalosti. Na rozdiel od dosky so šípkami v Chutes & Ladders alebo A Game of Life nie sú výsledky dosky v Nuclear War rovnako pravdepodobné. Niektoré úseky hracieho poľa sú väčšie a šíp sa na nich zastavuje oveľa častejšie, iné zase veľmi malé a šíp sa na nich zastaví len zriedka.

Na prvý pohľad teda kosť vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážený 1d3. Preto musíme rozdeliť všetky tieto časti na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, deliteľa, ktorému je všetko násobkom, a potom znázorniť situáciu ako d522 (alebo inú), kde bude množina tvárí kocky predstavujú rovnakú situáciu, ale s viacerými výsledkami. Toto je jeden zo spôsobov, ako vyriešiť problém, a je to technicky možné, ale existuje jednoduchšia možnosť.

Vráťme sa k našej štandardnej šesťstennej kocke. Povedali sme, že na výpočet priemernej hodnoty hodu na normálnu kocku musíte sčítať hodnoty na všetkých stranách a rozdeliť ich počtom strán, ale ako presne funguje výpočet? Môžete to vyjadriť rôzne. Pre šesťstennú kocku je pravdepodobnosť, že každá padne, presne 1/6. Teraz vynásobíme výsledok každého aspektu pravdepodobnosťou tohto výsledku (v tomto prípade 1/6 pre každý aspekt) a potom sčítame výsledné hodnoty. Takže sčítanie (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), dostaneme rovnaký výsledok (3.5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti to počítame zakaždým: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.

Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre šípku na hernom pláne v Nuclear War? Samozrejme, že môžeme. A ak zrátame všetky zistené výsledky, dostaneme priemernú hodnotu. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na ihrisku a vynásobiť ju hodnotou výsledku.

Ďalší príklad

Uvedený spôsob výpočtu priemeru je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú rôzne výhody – napríklad ak hodíte kockou a vyhráte na niektorých tvárach viac ako na iných. Vezmime si napríklad hru, ktorá sa odohráva v kasíne: podáte stávku a hodíte 2k6. Ak prídu tri čísla najmenšia hodnota(2, 3, 4) alebo štyri čísla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12) – vyhráte sumu rovnajúcu sa vášmu vkladu. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak padne 2 alebo 12, vyhráte dvojnásobok vašej stávky. Ak padne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Toto je celkom jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?

Začnime spočítaním, koľkokrát môžete vyhrať. Maximálny počet výsledkov pri hode 2k6 je 36. Aký je počet priaznivých výsledkov?

• Je tu 1 možnosť, ktorá hodí 2, a 1 možnosť, ktorá hodí 12.
• Existujú 2 možnosti pre 3 a 2 možnosti pre 11.
• Existujú 3 možnosti pre 4 a 3 možnosti pre 10.
• Existujú 4 možnosti, z ktorých bude 9.

Zhrnutím všetkých možností dostaneme 16 priaznivých výsledkov z 36. Za normálnych podmienok teda vyhráte 16-krát z 36 možných – pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50 %.

Dvakrát z týchto šestnástich však vyhráte dvakrát toľko – je to ako vyhrať dvakrát. Ak hráte túto hru 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár a každý zo všetkých možných výsledkov príde raz, vyhráte spolu 18 dolárov (v skutočnosti vyhráte 16-krát, ale dve z nich sa počítajú ako dve výhry). ). Ak hráte 36-krát a vyhráte 18 dolárov, neznamená to, že pravdepodobnosti sú vyrovnané?

Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, dostanete 20, nie 18. Ak hráte 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár, vyhráte spolu 18 dolárov, keď sa všetky kurzy hodia. Celkovo však stratíte 20 dolárov za všetkých 20 zlých výsledkov. V dôsledku toho budete mierne pozadu: za každých 36 hier prehráte v priemere 2 doláre netto (môžete tiež povedať, že prehráte v priemere 1/18 dolára za deň). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a nesprávne vypočítať pravdepodobnosť.

Permutácia

Doteraz sme vychádzali z toho, že pri hode kockou nezáleží na poradí, v akom sú čísla hodené. Hod 2 + 4 je rovnaký ako hod 4 + 2. Vo väčšine prípadov manuálne počítame počet priaznivých výsledkov, ale niekedy tadiaľto nepraktické a je lepšie použiť matematický vzorec.

Príklad takejto situácie je z hry s kockami Farkle. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Ak budete mať šťastie a prídu všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (Priamo), získate veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa tak stane? V tomto prípade existuje veľa možností na stratu tejto kombinácie.

Riešenie je nasledovné: na jednej z kociek (a len na jednej) by malo vypadnúť číslo 1. Koľko možností, aby na jednej kocke padlo číslo 1? Existuje 6 možností, keďže kociek je 6 a na ktorúkoľvek z nich môže padnúť číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by na jednej zo zostávajúcich kociek malo padnúť číslo 2. Na to je 5 možností. Vezmite ďalšiu kocku a odložte ju. Potom môžu 4 zo zostávajúcich kociek pristáť na 3, 3 zo zostávajúcich kociek môžu pristáť na 4 a 2 zo zostávajúcich kociek môžu pristáť na 5. Výsledkom je, že vám zostane jedna kocka, na ktorej je číslo 6 by mala padnúť (v druhom prípade je kocka len jedna kosť a nie je na výber).

Aby sme vypočítali počet priaznivých výsledkov pre postupku, ktorá má prísť, vynásobíme všetky rôzne nezávislé možnosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 – zdá sa, že ich je pomerne veľa veľké množstvo možnosti, aby táto kombinácia vypadla.

Aby sme vypočítali pravdepodobnosť získania rovnej kombinácie, musíme vydeliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6k6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá kocka môže hodiť 6 tvárí, takže vynásobíme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (oveľa väčšie číslo ako predchádzajúce). Vydelíme 720 číslom 46656 a dostaneme pravdepodobnosť rovnajúcu sa asi 1,5 %. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by pre vás užitočné to vedieť, aby ste si mohli vytvoriť vhodný systém bodovania. Teraz už chápeme, prečo vo Farkle získate taký veľký bonus, ak trafíte priamu kombináciu: táto situácia je pomerne zriedkavá.

Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedka krátke obdobie vypadne výsledok zodpovedajúci pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hodili niekoľko tisíc kociek, rôzne strany kocky by sa objavovali pomerne často. Ale keď hodíme len šiestimi kockami, takmer nikdy sa nestane, že by padla každá jedna z kociek. Ukazuje sa, že je hlúpe očakávať, že teraz vypadne tvár, ktorá ešte nebola, pretože „číslo 6 sme už dlho nevypustili“. Pozrite, váš generátor náhodných čísel je pokazený.

To nás vedie k všeobecnej mylnej predstave, že všetky výsledky prichádzajú rovnakou rýchlosťou počas krátkeho časového obdobia. Ak hodíme kockou niekoľkokrát, frekvencia každej z tvárí nebude rovnaká.

Ak ste už niekedy pracovali na online hre s nejakým druhom generátora náhodných čísel, potom ste s najväčšou pravdepodobnosťou narazili na situáciu, keď hráč napíše do služby technická podpora sťažujúc sa, že generátor náhodných čísel nezobrazuje náhodné čísla. Dospel k tomuto záveru, pretože zabil 4 príšery za sebou a dostal 4 úplne rovnaké odmeny a tieto odmeny by mali klesnúť iba v 10% prípadov, takže by sa to zrejme takmer nikdy nemalo stať.

Robíte matematiku. Pravdepodobnosť je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamená, že stačí 1 výsledok z 10 tisíc ojedinelý prípad. To sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?

Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je teraz na vašom serveri? Predpokladajme, že máte dosť populárna hra a každý deň ju hrá 100 000 ľudí. Koľko hráčov zabije štyri príšery za sebou? Pravdepodobne všetko, niekoľkokrát denne, ale predpokladajme, že polovica z nich len obchoduje s rôznymi predmetmi na aukciách, chatuje na RP serveroch alebo sa venuje iným herným aktivitám - takže len polovica z nich loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto dostane rovnakú odmenu? V tejto situácii môžete očakávať, že sa to stane aspoň niekoľkokrát denne.

Mimochodom, práve preto sa zdá, že každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď ten niekto nikdy nebol vy alebo niekto, koho poznáte. Ak bude pravidelne hrať dostatok ľudí, je pravdepodobné, že sa niekde nájde aspoň jeden šťastlivec. Ale ak hráte lotériu sami, je nepravdepodobné, že vyhráte, je pravdepodobnejšie, že budete pozvaní pracovať v Infinity Ward.

Mapy a závislosť

Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je hádzanie kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Výpočet pravdepodobnosti je trochu komplikovanejší, pokiaľ ide o ťahanie kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú vytiahneme, ovplyvňuje tie, ktoré v balíčku ostanú.

Ak máte štandardný balíček 52 kariet, vytiahnete si z neho 10 sŕdc a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnosť sa oproti pôvodnej zmenila, pretože ste už jednu srdcovú kartu z karty odstránili. paluba. Každá karta, ktorú odstránite, zmení pravdepodobnosť, že sa v balíčku objaví ďalšia karta. V tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje nasledujúcu, preto ju nazývame závislou na pravdepodobnosti.

Všimnite si, že keď hovorím „karty“, mám na mysli akúkoľvek hernú mechaniku, ktorá má sadu predmetov a jeden z nich odstránite bez toho, aby ste ho nahradili. „Balík kariet“ je v tomto prípade obdobou vrecúška žetónov, z ktorého vyberáte jeden žetón, alebo urny, z ktorej sa vyberajú farebné loptičky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej by sa vyberali farebné loptičky von, ale učitelia teórie pravdepodobnosti na to, čo z nejakého dôvodu, tento príklad je preferovaný).

Vlastnosti závislosti

Chcel by som objasniť, že kedy rozprávame sa o kartách, predpokladám, že si potiahnete karty, pozriete sa na ne a vyberiete ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou. Ak by som mal balíček, povedzme, šiestich kariet očíslovaných od 1 do 6, zamiešal by som ich a ťahal by som si jednu kartu, potom by som znova zamiešal všetkých šesť kariet – bolo by to podobné, ako keď hádžem šesťstennou kockou, pretože jeden výsledok nie je ovplyvniť tu pre ďalšie. A ak si potiahnem karty a nenahradím ich, tak ťahaním 1 karty zvyšujem pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6. Pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, až si nakoniec túto kartu potiahnem alebo zamiešam balíček.

Dôležitý je aj fakt, že sa pozeráme na karty. Ak vyberiem kartu z balíčka a nepozerám sa na ňu, nebudem mať Ďalšie informácie a v skutočnosti sa pravdepodobnosť nezmení. Môže to znieť nelogicky. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť šance? Ale je to možné, pretože pravdepodobnosť neznámych položiek môžete vypočítať len na základe toho, čo viete.

Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet, odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je klubová kráľovná, potom si môžete byť 100% istý, že zostávajúca karta je klubová kráľovná. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a potiahnete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, potom je pravdepodobnosť, že zostávajúca karta je kráľovnou palíc, stále 1/52. Po otvorení každej karty získate ďalšie informácie.

Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, až na to, že je to o niečo zložitejšie, keďže pri odkrytí kariet sa pravdepodobnosti menia. Treba sa teda veľa množiť rôzne hodnoty namiesto násobenia rovnakej hodnoty. V skutočnosti to znamená, že musíme spojiť všetky výpočty, ktoré sme urobili, do jednej kombinácie.

Príklad

Zamiešate štandardný balíček 52 kariet a potiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že si vyberiete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale možno najjednoduchší je nasledujúci: aká je pravdepodobnosť, že po vytiahnutí jednej karty nebudete môcť vytiahnuť pár? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže v podstate nezáleží na tom, ktorú prvú kartu si vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Nezáleží na tom, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár. Preto je pravdepodobnosť vytiahnutia páru po vytiahnutí prvej karty 100%.

Aká je pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by to boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedajúcich kariet ste už odstránili, keď ste si vytiahli prvú kartu), takže pravdepodobnosť je 1/ 17. Takže nabudúce, keď chlapík oproti vám pri stole hrá Texas Hold'em, povie: „Super, ďalší pár? Dnes mám šťastie“, budete vedieť, že s vysokou mierou pravdepodobnosti blafuje.

Čo ak pridáme dvoch žolíkov, takže máme v balíčku 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť ťahania páru? Prvá karta môže byť žolík a potom bude v balíčku iba jedna zhodná karta, nie tri. Ako zistiť pravdepodobnosť v tomto prípade? Rozdelíme pravdepodobnosti a každú možnosť vynásobíme.

Naša prvá karta môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prvá karta žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta bude zhodovať s prvou, je 1/53. Vynásobíme hodnoty (môžeme ich vynásobiť, pretože sú to samostatné udalosti a chceme, aby sa obe udalosti stali) a dostaneme 1/1431 - menej ako jednu desatinu percenta.

Ak najprv vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť, že sa zhoduje s druhou kartou, je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%). Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nepretínajú sa a my chceme poznať pravdepodobnosť každého z nich, preto hodnoty spočítame. Dostaneme konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5%).

Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: ťahanie žolíka a nezodpovedanie druhej karty, alebo ťahanie inej karty a nezodpovedanie druhej karty. Zhrnutím týchto pravdepodobností a pravdepodobnosti výhry by sme dostali presne 100 %. Nebudem tu uvádzať matematiku, ale môžete skúsiť matematiku pre kontrolu.

Paradox Monty Hall

Tým sa dostávame k pomerne známemu paradoxu, ktorý mnohých často mätie, Monty Hall Paradox. Paradox je pomenovaný po moderátorovi televíznej relácie Let's Make a Deal Pre tých, ktorí túto reláciu nikdy nevideli, poviem, že to bol opak The Price Is Right.

Vo filme The Price Is Right je hostiteľ (predtým hostil Bob Barker, teraz Drew Carey? Nevadí) váš priateľ. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám poskytnúť každú príležitosť na výhru, pokiaľ dokážete odhadnúť, akú skutočnú hodnotu majú sponzorované predmety.

Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a šance boli v jeho prospech. Možno som prehnane drsný, ale pri pohľade na predstavenie, do ktorého sa s väčšou pravdepodobnosťou dostanete, ak máte na sebe smiešny kostým, presne k tomu prichádzam.

Jeden z najznámejších mémov predstavenia bol tento: pred vami sú tri dvere, dvere číslo 1, dvere číslo 2 a dvere číslo 3. Jedny dvere si môžete vybrať zadarmo. Za jedným z nich je veľkolepá cena – napríklad nové auto. Za ďalšími dvoma dverami nie sú žiadne ceny, obe nemajú žiadnu hodnotu. Majú vás ponižovať, takže za nimi nie je len tak niečo, ale niečo hlúpe, napríklad koza alebo obrovská tuba zubnej pasty – čokoľvek, len nie nové auto.

Vyberiete si jedny z dverí, Monty sa ich chystá otvoriť, aby vám dal vedieť, či ste vyhrali alebo nie... ale počkajte. Skôr než sa dozvieme, poďme sa pozrieť na jedny z tých dverí, ktoré ste si nevybrali. Monty vie, za ktorými dverami je cena, a vždy môže otvoriť dvere, ktoré za sebou nemajú cenu. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme dvere číslo 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena.“ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymeniť vybrané dvere číslo 3 za to, čo je za dverami číslo 2.

V tomto bode vyvstáva otázka pravdepodobnosti: zvyšuje táto príležitosť vašu pravdepodobnosť výhry alebo ju znižuje, alebo zostáva nezmenená? Ako si myslíte, že?

Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje šancu na výhru z 1/3 na 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom ešte nestretli, potom si s najväčšou pravdepodobnosťou hovoríte: počkajte, ako to je: otvorením jedných dverí sme magicky zmenili pravdepodobnosť? Ako sme videli na príklade máp, presne toto sa stane, keď získame viac informácií. Je zrejmé, že keď si vyberiete prvýkrát, pravdepodobnosť výhry je 1/3. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nemení pravdepodobnosť výhry pre prvú možnosť: pravdepodobnosť je stále 1/3. Ale pravdepodobnosť, že tie druhé dvere sú správne, je teraz 2/3.

Pozrime sa na tento príklad z druhej strany. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem, aby ste vymenili ďalšie dve dvere, čo robí Monty Hall. Samozrejme, otvorí jedny z dverí, aby ukázal, že za tým nie je žiadna cena, ale toto môže urobiť vždy, takže to vlastne nič nemení. Samozrejme, budete chcieť zvoliť iné dvere.

Ak otázke celkom nerozumiete a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a prejdite na skvelú malú Flash aplikáciu, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete začať s približne 10 dverami a potom postupne prejsť na hru s tromi dverami. K dispozícii je tiež simulátor, kde môžete hrať s ľubovoľným počtom dverí od 3 do 50 alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a zistiť, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.

Vyberte si jedny z troch dverí – pravdepodobnosť výhry je 1/3. Teraz máte dve stratégie: zmeniť výber po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak nezmeníte svoj výber, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber je len v prvej fáze a musíte hneď uhádnuť. Ak sa zmeníte, potom môžete vyhrať, ak si najprv vyberiete nesprávne dvere (potom otvoria ďalšie zlé, tie správne ostanú - zmena rozhodnutia, len to vezmete). Pravdepodobnosť výberu nesprávnych dverí na začiatku je 2/3 – ukazuje sa teda, že zmenou svojho rozhodnutia zdvojnásobíte pravdepodobnosť výhry.

Poznámka od učiteľa vyššia matematika a špecialista na herná rovnováha Maxim Soldatov - samozrejme, Schreiber ju nemal, ale bez nej je dosť ťažké pochopiť túto magickú premenu

Opätovná návšteva paradoxu Monty Hall

Pokiaľ ide o samotnú šou, aj keď súperi Montyho Halla neboli dobrí v matematike, on v nej bol dobrý. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Ak ste si vybrali dvere, za ktorými bola výhra, s pravdepodobnosťou 1/3 vám vždy ponúkol možnosť vybrať si iné dvere. Vyberiete si auto a potom ho vymeníte za kozu a vyzeráte dosť hlúpo – čo je presne to, čo potrebujete, pretože Hall je tak trochu zlý chlap.

Ale ak si vyberiete dvere, ktoré nemajú cenu, polovicu času vám ponúkne iné dvere, alebo vám len ukáže vašu novú kozu a vy odídete z javiska. Poďme to analyzovať Nová hra, v ktorom sa Monty Hall môže rozhodnúť, či vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere alebo nie.

Predpokladajme, že bude nasledovať tento algoritmus: Ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere, inak je rovnako pravdepodobné, že vám ponúkne iné dvere alebo vám dá kozu. Aká je pravdepodobnosť vašej výhry?

V jednom z tri možnosti okamžite si vyberiete dvere, za ktorými sa nachádza výhra, a hostiteľ vás vyzve, aby ste si vybrali ďalšie.

Zo zvyšných dvoch možností z troch (na začiatku si vyberiete dvere bez výhry) vám v polovici prípadov hostiteľ ponúkne zmenu rozhodnutia a v druhej polovici prípadov nie.

Polovica z 2/3 je 1/3, to znamená, že v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vám ponúkne vybrať si iné a v r. jeden prípad z troch si vyberiete správne dvere, ale on opäť ponúkne iné.

Ak facilitátor ponúkne výber iných dverí, už vieme, že jeden z troch prípadov, keď nám dá kozu a my odchádzame, sa nestal. Toto užitočné informácie: znamená to, že naše šance na výhru sa zmenili. Dva z troch prípadov, keď máme na výber: v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne a v druhom prípade, že sme uhádli nesprávne, takže ak nám vôbec ponúkli na výber, pravdepodobnosť našej výhry je 1 /2 , a matematicky je jedno, či zostanete pri výbere alebo zvolíte iné dvere.

Rovnako ako poker je to psychologická hra, nie matematická. Prečo vám Monty ponúkol na výber? Myslí si, že ste hlupák, ktorý nevie, že výber iných dverí je „správne“ rozhodnutie a tvrdošijne sa bude svojho výberu držať (predsa len psychologicky situácia je ťažšia keď ste si vybrali auto a potom ste ho stratili)?

Alebo vám túto šancu ponúkne, keď sa rozhodne, že ste šikovný a vyberiete si iné dvere, pretože vie, že ste spočiatku hádali správne a padli ste na hák? Alebo možno je netypicky láskavý a tlačí vás, aby ste urobili niečo prospešné pre vás, pretože už dlho nedáva autá a producenti hovoria, že publikum sa začína nudiť a bolo by lepšie dať čoskoro veľkú cenu, aby klesli hodnotenia?

Montymu sa teda občas darí ponúknuť na výber, pričom celková pravdepodobnosť výhry zostáva rovná 1/3. Pamätajte, že pravdepodobnosť, že okamžite prehráte, je 1/3. Je tu 1/3 šanca, že uhádnete hneď a 50 % z nich vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6).

Pravdepodobnosť, že najskôr uhádnete zle, ale potom máte šancu vybrať si iné dvere, je 1/3 a v polovici z týchto prípadov vyhráte (tiež 1/6). Spočítajte dve nezávislé výherné možnosti a dostanete pravdepodobnosť 1/3, takže nezáleží na tom, či zostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere - celková pravdepodobnosť vašej výhry počas celej hry je 1/3.

Pravdepodobnosť nie je väčšia ako v situácii, keď ste uhádli dvere a hostiteľ vám jednoducho ukázal, čo je za nimi, bez toho, aby vám ponúkol vybrať si iné. Cieľom návrhu nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším pre sledovanie televízie.

Mimochodom, toto je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov medzi kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), sa karty postupne odkrývajú, a ak máte na začiatku hry jednu šancu na výhru, potom sa po každom kole stávok, keď je otvorených viac kariet, táto pravdepodobnosť zmení.

Paradox chlapca a dievčaťa

To nás privádza k ďalšiemu dobre známemu paradoxu, ktorý má tendenciu zmiasť každého, paradoxu chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, ktorá nesúvisí priamo s hrami (aj keď vás hádam len musím postrčiť, aby ste vytvorili zodpovedajúcu herné mechaniky). Toto je skôr hádanka, ale zaujímavá, a aby ste ju vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.

Úloha: Mám kamarátku s dvoma deťmi, aspoň jedno z nich je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča? Predpokladajme, že v každej rodine je šanca mať dievča a chlapca 50/50, a to platí pre každé dieťa.

V skutočnosti niektorí muži majú v sperme viac spermií s chromozómom X alebo chromozómom Y, takže pravdepodobnosť sa mierne líši. Ak viete, že jedno dieťa je dievča, šanca na druhé dievča je o niečo vyššia a existujú aj ďalšie stavy, ako je hermafroditizmus. Ale na vyriešenie tohto problému to nebudeme brať do úvahy a predpokladáme, že narodenie dieťaťa je nezávislou udalosťou a narodenie chlapca a dievčaťa je rovnako pravdepodobné.

Keďže hovoríme o 1/2 šanci, intuitívne očakávame, že odpoveď bude 1/2 alebo 1/4, alebo nejaký iný násobok dvoch v menovateli. Ale odpoveď je 1/3. prečo?

Problémom v tomto prípade je, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na pohlavie detí ich pomenovali A a B. Za normálnych podmienok existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča, A je dievča a B je chlapec. Keďže vieme, že aspoň jedno dieťa je dievča, môžeme vylúčiť, že A a B sú dvaja chlapci. Ostali nám teda tri možnosti – stále rovnako pravdepodobné. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a sú tri, potom pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dievčatá, takže odpoveď je 1/3.

A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa

Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že môj priateľ má dve deti a jedno z nich je dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok je rovnako pravdepodobné, že sa dieťa narodí každý zo siedmich dní v týždni. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča?

Možno si myslíte, že odpoveď bude stále 1/3: čo znamená utorok? Ale v tomto prípade nás intuícia zlyháva. Odpoveď je 13/27, čo nie je len intuitívne, ale veľmi zvláštne. O čo v tomto prípade ide?

V skutočnosti utorok mení pravdepodobnosť, pretože nevieme, ktoré dieťa sa narodilo v utorok, alebo možno obe sa narodili v utorok. V tomto prípade používame rovnakú logiku: počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Ako v predchádzajúcom príklade, predpokladajme, že deti majú mená A a B. Kombinácie vyzerajú takto:

• A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna na každý deň v týždni, kedy sa mohol narodiť chlapec).
• B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - chlapec (tiež 7 možností).
• A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je dievča, ktoré sa narodilo v iný deň v týždni (6 možností).
• B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - dievča, ktoré sa nenarodilo v utorok (tiež 6 pravdepodobností).
• A a B sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, treba si na to dať pozor, aby sa to nerátalo dvakrát).

Zrátame a dostaneme 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodenia detí a dní s aspoň jednou možnosťou, že sa v utorok narodí dievčatko. Z toho 13 možností je, keď sa narodia dve dievčatá. Vyzerá to tiež úplne nelogicky - zdá sa, že táto úloha bola vynájdená iba s cieľom zavolať bolesť hlavy. Ak ste stále zmätení, stránka herného teoretika Jespera Juhla má na to dobré vysvetlenie.

Ak práve pracujete na hre

Ak je v hre, ktorú navrhujete, náhoda, je to skvelá príležitosť na jej analýzu. Vyberte ľubovoľný prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, akú by ste očakávali pravdepodobnosť daného prvku v kontexte hry.

Ak napríklad tvoríte RPG a uvažujete o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč v boji porazí monštrum, položte si otázku, aké percento výhier sa vám zdá správne. V prípade konzolových RPG sa hráči zvyčajne veľmi rozčúlia, keď prehrajú, takže je lepšie, ak prehrávajú zriedkavo – 10 % času alebo menej. Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to viete lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.

Potom si položte otázku, či sú vaše pravdepodobnosti závislé (ako pri kartách) alebo nezávislé (ako pri kockách). Diskutujte o všetkých možných výsledkoch a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100 %. A, samozrejme, porovnajte svoje výsledky s vašimi očakávaniami. Je možné hádzať kockami alebo ťahať karty tak, ako ste zamýšľali, alebo je jasné, že hodnoty je potrebné upraviť. A samozrejme, ak nájdete nedostatky, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, koľko potrebujete zmeniť hodnoty.

Domáca úloha

Vaša „domáca úloha“ na tento týždeň vám pomôže zdokonaliť vaše pravdepodobnostné schopnosti. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré musíte analyzovať pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvláštny herný mechanizmus, ktorý som kedysi vyvinul a na ktorom budete testovať metódu Monte Carlo.

Hra #1 - Dračie kosti

Toto je hra s kockami, ktorú sme kedysi s kolegami vymysleli (vďaka Jebovi Havensovi a Jesse Kingovi) – zámerne fúka do povedomia ľudí svojimi pravdepodobnosťami. Toto je jednoduchá kasínová hra s názvom „Dragon Dice“ a ide o súťaž v hazardných hrách medzi hráčom a zariadením.

Dostanete obyčajnú kocku 1k6. Cieľom hry je hodiť o číslo vyššie ako je domček. Tom dostane neštandardné 1k6 - rovnaké ako vy, ale na jednej z jeho tvárí namiesto jednej - obrázok draka (takže kasíno má kocku draka-2-3-4-5-6). Ak inštitúcia získa draka, automaticky vyhráva a vy prehrávate. Ak obaja dostanú rovnaké číslo, je to remíza a znova hádžete kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.

Samozrejme, všetko nie je úplne v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu v podobe dračí tváre. Ale je to naozaj tak? Toto si musíte vypočítať. Najprv však skontrolujte svoju intuíciu.

Povedzme, že výhra je 2 ku 1. Ak teda vyhráte, ponecháte si svoju stávku a získate dvojnásobok sumy. Ak napríklad vsadíte 1 dolár a vyhráte, ponecháte si tento dolár a získate ďalšie 2 doláre navrch, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, stratíte iba svoju stávku. Hrali by ste? Máte intuitívne pocit, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, v priemere počas 3 hier očakávate, že vyhráte viac ako raz, alebo menej, alebo raz?

Akonáhle ste dostali svoju intuíciu z cesty, použite matematiku. Pre obe kocky je len 36 možných pozícií, takže ich všetky ľahko spočítate. Ak si nie ste istí touto ponukou 2:1, zvážte toto: Povedzme, že ste hru hrali 36-krát (vždy ste stavili 1 dolár). Za každú výhru dostanete 2 doláre, za každú stratu 1 dolár a remíza nič nemení. Spočítajte všetky svoje pravdepodobné výhry a prehry a rozhodnite sa, či nejaké doláre stratíte alebo získate. Potom sa opýtajte sami seba, ako správna sa ukázala vaša intuícia. A potom si uvedomiť, aký som darebák.

A áno, ak ste sa už nad touto otázkou zamysleli – zámerne vás mätiem skresľovaním skutočných mechanizmov kockových hier, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len dobrou myšlienkou. Skúste tento problém vyriešiť sami.

Hra #2 - Roll of Luck

Toto je hra s kockami s názvom Roll of Luck (tiež Birdcage, pretože niekedy sa kocky nehádžu, ale umiestnia sa do veľkej drôtenej klietky, ktorá pripomína klietku Bingo). Hra je jednoduchá, v podstate sa scvrkáva na toto: Stavte, povedzme, 1 dolár na číslo medzi 1 a 6. Potom hodíte 3k6. Za každú kocku, ktorá zasiahne vaše číslo, získate 1 dolár (a ponecháte si pôvodnú stávku). Ak vaše číslo nepadne na žiadnu z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nedostanete nič. Ak teda vsadíte na 1 a trikrát dostanete 1, získate 3 doláre.

Intuitívne sa zdá, že v tejto hre sú šance vyrovnané. Každá kocka je individuálna šanca na výhru 1 ku 6, takže vaša šanca na výhru je pri súčte troch hodov 3 ku 6. Pamätajte, samozrejme, že skladáte tri samostatné kocky a môžete pridať iba vtedy, ak hovoríme o samostatných výherných kombináciách tých istých kociek. Niečo, čo budete musieť znásobiť.

Po spočítaní všetkých možných výsledkov (pravdepodobne jednoduchšie v Exceli ako ručne, je ich 216), hra na prvý pohľad stále vyzerá párne-nepárne. V skutočnosti je stále pravdepodobnejšie, že kasíno vyhrá – o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí očakávate, že priemerne stratíte za kolo hry?

Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať výhry a prehry všetkých 216 výsledkov a potom ich vydeliť 216, čo by malo byť celkom jednoduché. Ale ako vidíte, existuje niekoľko úskalí, do ktorých môžete spadnúť, a preto hovorím, že ak si myslíte, že v tejto hre existuje rovnomerná šanca na výhru, nepochopili ste to.

Hra #3 - 5 Card Stud

Ak ste sa už zohriali pri predchádzajúcich hrách, pozrime sa, čo vieme o podmienenej pravdepodobnosti pomocou tejto kartovej hry ako príkladu. Predstavme si poker s balíčkom 52 kariet. Predstavme si tiež 5 card stud, kde každý hráč dostane len 5 kariet. Nemôžete zahodiť kartu, nemôžete si vziať novú, žiadny spoločný balíček – dostanete iba 5 kariet.

Royal flush je 10-J-Q-K-A v jednej kombinácii, celkovo sú štyri, takže sú štyri možné spôsoby získajte ROYAL FLUSH. Vypočítajte pravdepodobnosť, že dostanete jednu z týchto kombinácií.

Musím vás varovať pred jednou vecou: nezabudnite, že týchto päť kariet môžete ťahať v akomkoľvek poradí. To znamená, že najprv si môžete vytiahnuť eso alebo desiatku, na tom nezáleží. Takže pri výpočtoch majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať kráľovskú farbu, za predpokladu, že karty boli rozdané v poradí.

Hra č. 4 - Lotéria IMF

Štvrtú úlohu nebude tak ľahké vyriešiť metódami, o ktorých sme dnes hovorili, ale situáciu môžete jednoducho nasimulovať pomocou programovania alebo Excelu. Na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.

Už som spomenul hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna veľmi zaujímavá karta – lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste ho v hre. Po skončení kola boli karty prerozdelené a existovala 10% šanca, že karta bude mimo hry a náhodný hráč dostane 5 kusov z každého druhu suroviny, ktorá mala na tejto karte žetón. Karta bola vložená do hry bez jediného žetónu, ale zakaždým, keď zostala v hre na začiatku ďalšieho kola, dostala jeden žetón.

Bola teda 10% šanca, že to dáte do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nezíska. Ak sa tak nestane (s 90% šancou), je 10% šanca (v skutočnosti 9%, keďže to je 10% z 90%), že opustí hru v ďalšom kole a niekto získa 5 surovín. Ak karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže pravdepodobnosť je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, ďalšie kolo - 15, ďalší 20 atď. Otázka: Aká je očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?

Normálne by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém vypočítaním pravdepodobnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje 10% šanca, že dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, čo získate, je 10 (8,1 % * 10 = 0,81 zdrojov – vo všeobecnosti očakávaná hodnota). A tak ďalej. A potom by sme to všetko zhrnuli.

A teraz je vám problém jasný: vždy existuje šanca, že karta neopustí hru, môže zostať v hre navždy, napr. nekonečné číslo kolách, takže neexistuje spôsob, ako vypočítať žiadnu pravdepodobnosť. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám neumožňujú vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.

Ak ste dostatočne dobrí v programovaní, napíšte program, ktorý bude túto kartu simulovať. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá privedie premennú do počiatočnej polohy nula, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Keď konečne opustí slučku, zvýšte celkový počet skúšobných spustení o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde sa premenná zastavila). Potom premennú resetujte a začnite odznova.

Spustite program niekoľko tisíckrát. Nakoniec vydeľte celkové zdroje celkovým počtom behov – to je vaša očakávaná hodnota metódy Monte Carlo. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú približne rovnaké. Ak je rozptyl stále veľký, zvyšujte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete dostávať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.

Ak ste nováčikom v programovaní (aj keď ste), tu je malé cvičenie, ktoré otestuje vaše zručnosti v Exceli. Ak ste herný dizajnér, tieto zručnosti nebudú nikdy zbytočné.

Teraz budú pre vás veľmi užitočné funkcie if a rand. Rand nevyžaduje hodnoty, len vytvára náhodné desatinné číslo medzi 0 a 1. Zvyčajne ho kombinujeme s podlahou a plusmi a mínusmi, aby sme simulovali hod kockou, o ktorom som sa zmienil už skôr. V tomto prípade však nechávame len 10% šancu, že karta opustí hru, takže môžeme len skontrolovať, či je rand menší ako 0,1 a už sa o to nestarať.

Ak má tri hodnoty. V poradí podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nie, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka nepravdivá. Takže nasledujúca funkcia vráti 5 % času a 0 ostatných 90 % času: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale použil by som tento vzorec pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, povedzme, že je to bunka A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Tu používam zápornú premennú, ktorá znamená „táto karta neopustila hru a zatiaľ neposkytla žiadne zdroje“. Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta je mimo hry, A1 je 0; inak je -1.

Pre nasledujúcu bunku predstavujúcu druhé kolo: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Ak sa teda prvé kolo skončí a karta okamžite opustí hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka túto hodnotu jednoducho skopíruje. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej náhodne pohybuje: 10% času vráti 5 jednotiek zdrojov, zvyšok času bude jej hodnota stále - 1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a podľa toho, s ktorou bunkou skončíte, dostanete konečný výsledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po všetkých odohraných kolách).

Vezmite tento rad buniek, čo je jediné kolo s touto kartou, a skopírujte a vložte niekoľko stoviek (alebo tisícov) riadkov. Síce sa nám nepodarí urobiť nekonečný test pre Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň pokryjeme väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej vložíte priemer výsledkov všetkých kôl - Excel na to láskavo poskytuje funkciu average().

V systéme Windows môžete aspoň stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Ako predtým, urobte to niekoľkokrát a uvidíte, či získate rovnaké hodnoty. Ak je rozptyl príliš veľký, zdvojnásobte počet cyklov a skúste to znova.

Nevyriešené problémy

Ak ste náhodou vyštudovali teóriu pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché – tu sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale, bohužiaľ, nie som taký dobrý v matematike, aby som ich vyriešil.

Nevyriešený problém č. 1: Lotéria MMF

Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Môžem kľudne použiť metódu Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excelu) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč dostane“, ale neviem presne matematicky poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď (to je nekonečný rad).

Nevyriešený problém č. 2: Tvarové sekvencie

Túto úlohu (tiež ďaleko presahuje úlohy, ktoré sú riešené v tomto blogu) mi dal známy hráč pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vlastnosť: ťahanie kariet z 8-balíčkovej topánky, videl desať figúrok za sebou (figúrka alebo lícová karta je 10, Joker, King alebo Queen, takže celkovo je v hre 16 štandardný balíček 52 kariet alebo 128 v 416-kartovej topánke).

Aká je pravdepodobnosť, že táto topánka obsahuje aspoň jednu sekvenciu desiatich alebo viacerých kusov? Predpokladajme, že boli zamiešané poctivo, v náhodnom poradí. Alebo, ak chcete, aká je pravdepodobnosť, že nikde nie je sekvencia desiatich alebo viacerých tvarov?

Úlohu si môžeme zjednodušiť. Tu je sekvencia 416 častí. Každá časť je 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne roztrúsených 128 jednotiek a 288 núl. Koľko spôsobov je náhodne preložiť 128 jednotiek s 288 nulami a koľkokrát bude týmto spôsobom existovať aspoň jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?

Zakaždým, keď som sa pustil do riešenia tohto problému, zdalo sa mi to jednoduché a samozrejmé, no akonáhle som sa zahĺbil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemožné.

Neponáhľajte sa preto zahmlievať odpoveď: sadnite si, dobre si premyslite, naštudujte si podmienky, skúste zapojiť reálne čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som o tomto probléme hovoril (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti), reagovali veľmi rovnakým spôsobom: "Je to úplne zrejmé... oh nie, počkajte, vôbec to nie je zrejmé." To je prípad, keď nemám metódu na výpočet všetkých možností. Samozrejme, mohol by som problém brutálne vynútiť pomocou počítačového algoritmu, ale oveľa zaujímavejšie by bolo nájsť matematický spôsob, ako ho vyriešiť.

Je nepravdepodobné, že veľa ľudí premýšľa o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Jednoducho povedané, je reálne vedieť, ktorá strana kocky padne ako ďalšia? Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnosť udalosti študuje pomerne rozsiahle.

Pôvod

Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Samozrejme, tento koncept skutočne neodhaľuje celú podstatu, preto je potrebné ho zvážiť podrobnejšie.

Chcel by som začať tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja a práve oni boli medzi prvými, ktorí sa pokúsili vypočítať výsledok nejakej udalosti pomocou vzorcov a matematických výpočtov. Celkovo sa počiatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako napríklad ruletu, kocky atď., a tak stanoviť vzorec a percento vypadnutia konkrétneho čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.

Spočiatku sa ich práca nedala pripísať veľkým úspechom v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty sa robili vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času sa ukázalo, že dosahuje skvelé výsledky, ktoré sa objavili v dôsledku pozorovania hádzania kociek. Práve tento nástroj pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.

Rovnako zmýšľajúci ľudia

Nie je možné nespomenúť takú osobu, akou je Christian Huygens, v procese štúdia témy nazývanej „teória pravdepodobnosti“ (pravdepodobnosť udalosti je pokrytá práve v tejto vede). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť zákonitosť náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nijako neprelínali s týmito myšlienkami. Huygens vyviedol

Zaujímavosťou je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce objaviteľov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi označených konceptov sú najznámejšie:

• pojem pravdepodobnosti ako veľkosť náhody;
• matematické očakávania pre jednotlivé prípady;
• vety o násobení a sčítaní pravdepodobností.

Nedá sa nespomenúť ani na to, kto tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, sa mu podarilo predložiť dôkaz o zákone veľkých čísel. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné teorémy dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v priebehu pozorovaní. Túto vedu nemohli obísť ani ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov. Na základe práce veľkých géniov zafixovali tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto figúry fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu sa objavili javy ako:

• zákon veľkých čísel;
• teória Markovových reťazcov;
• centrálna limitná veta.

Takže s históriou zrodu vedy a s hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je všetko viac-menej jasné. Teraz je čas skonkretizovať všetky fakty.

Základné pojmy

Predtým, ako sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to študovať základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom preberá vedúcu úlohu. Táto téma je dosť objemná, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. Nie je toľko konceptov tohto fenoménu. Takže vedec Lotman, ktorý pracuje v tejto oblasti, povedal, že v tomto prípade hovoríme o tom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo“.

Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je pojem, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má schopnosť nastať. Alebo naopak, pri splnení mnohých podmienok tento scenár nenastane. Je tiež potrebné vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Práve ich správanie sa nazývalo „experiment“ alebo „test“.

Určitá udalosť je taká, ktorá sa 100% vyskytne v danom teste. Nemožná udalosť je teda taká, ktorá sa nestane.

Kombinácia dvojice akcií (podmienečne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.

Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jedna z nich (A alebo B), získa sa C. Vzorec opísaného javu je napísaný takto: C \u003d A + B.

Disjunktné udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že tieto dva prípady sa navzájom vylučujú. Nikdy sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. To znamená, že ak sa stalo A, potom to nebráni B žiadnym spôsobom.

Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti sa nimi zaoberá veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepšie je s nimi zaobchádzať v porovnaní. Sú takmer rovnaké ako nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ale ich rozdiel spočíva v tom, že v každom prípade musí nastať jeden z mnohých javov.

Rovnako pravdepodobné sú udalosti, ktorých možnosť opakovania je rovnaká. Aby to bolo jasnejšie, môžeme si predstaviť hod mincou: strata jednej z jej strán s rovnakou pravdepodobnosťou vypadne z druhej.

Priaznivú udalosť je ľahšie vidieť na príklade. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvou je hod kockou s výskytom nepárneho čísla a druhou je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.

Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akéhokoľvek konania od iného. Napríklad A - padanie chvostov pri hádzaní mince a B - získanie zdviháka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto bode sa to vyjasnilo.

Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B môže nastať iba vtedy, ak sa A už stalo alebo naopak nestalo, keď je to hlavná podmienka pre B.

Výsledkom náhodného experimentu pozostávajúceho z jednej zložky sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.

Základné vzorce

Takže pojmy „udalosť“, „teória pravdepodobnosti“ boli zvážené vyššie, bola tiež uvedená definícia hlavných pojmov tejto vedy. Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležitými vzorcami. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak náročnom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.

Je lepšie začať s hlavnými.A predtým, ako sa k nim pristúpite, stojí za to zvážiť, čo to je.

Kombinatorika je predovšetkým odvetvím matematiky, zaoberá sa štúdiom veľkého množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., Ktoré vedú k vzniku množstva kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.

Teraz teda môžete prejsť k prezentácii samotných vzorcov a ich definície.

Prvým z nich bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Rovnica platí len vtedy, ak sa prvky líšia len v poradí.

Teraz sa zváži vzorec umiestnenia, vyzerá takto:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tento výraz sa vzťahuje nielen na poradie prvku, ale aj na jeho zloženie.

Tretia a zároveň posledná rovnica z kombinatoriky sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinácia sa nazýva výber, ktorý nie je usporiadaný, a toto pravidlo sa na ne vzťahuje.

Ukázalo sa, že je ľahké prísť na vzorce kombinatoriky, teraz môžeme prejsť ku klasickej definícii pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:

V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.

Existuje veľké množstvo výrazov, článok nepokryje všetky, ale dotkne sa najdôležitejších z nich, ako napríklad pravdepodobnosť súčtu udalostí:

P(A + B) = P(A) + P(B) - táto veta slúži na sčítanie iba nekompatibilných udalostí;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridávanie iba kompatibilných.

Pravdepodobnosť vzniku udalostí:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - táto veta platí pre nezávislé udalosti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre závislé osoby.

Vzorec udalosti ukončí zoznam. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

V tomto vzorci je H 1, H 2, …, Hn celá skupina hypotéz.

Príklady

Ak pozorne študujete akýkoľvek odbor matematiky, bez cvičení a vzorových riešení sa nezaobíde. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti, príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.

Vzorec pre počet permutácií

Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc nominálnou hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné naskladať balíček tak, aby karty s nominálnou hodnotou jedna a dve neboli vedľa seba?

Úloha je nastavená, teraz prejdime k jej riešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vyššie uvedený vzorec, ukáže sa P_30 = 30!.

Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no treba od nich odpočítať tie, v ktorých sú na rade prvá a druhá karta. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaujať dvadsaťdeväť miest - od prvej do dvadsiatej deviatej a druhá karta od druhej do tridsiateho, ukazuje sa, že pre pár kariet je iba dvadsaťdeväť miest. Zvyšok môže obsadiť dvadsaťosem miest a v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre permutáciu dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28 = 28!

V dôsledku toho sa ukazuje, že ak zvážime riešenie, keď je prvá karta nad druhou, existuje 29 ⋅ 28 možností navyše! = 29!

Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplýva, že existujú 2 ⋅ 29! možnosti navyše, pričom je potrebných 30 spôsobov, ako zostaviť balíček! - 2 ⋅ 29!. Zostáva len počítať.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musíte medzi sebou vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť a potom na konci všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Príklad riešenia. Vzorec pre číslo umiestnenia

V tomto probléme musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale pod podmienkou, že celkovo je tridsať zväzkov.

V tomto probléme je riešenie o niečo jednoduchšie ako v predchádzajúcom. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet aranžmánov z tridsiatich zväzkov po pätnásť.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 700 3

Odpoveď sa bude rovnať 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz zoberme úlohu trochu zložitejšie. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, za predpokladu, že na jednej poličke môže byť iba pätnásť zväzkov.

Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy sa riešia niekoľkými spôsobmi, takže v tomto existujú dva spôsoby, ale v oboch sa používa rovnaký vzorec.

V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúcej, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete rôznymi spôsobmi naplniť policu pätnástimi knihami. Ukázalo sa, že A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Druhú policu vypočítame podľa permutačného vzorca, pretože je v nej umiestnených pätnásť kníh, pričom zostáva len pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje sa, že celkovo bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale okrem toho bude potrebné súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich vynásobiť súčinom čísel od jednej do pätnásť, v dôsledku toho bude získame súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, to znamená, že odpoveď je 30!

Ale tento problém sa dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje dve police, jednu dlhú prerežeme na polovicu, vyjde nám každá dve pätnásť. Z toho vyplýva, že možnosti umiestnenia môžu byť P_30 = 30!.

Príklad riešenia. Vzorec pre kombinačné číslo

Teraz zvážime variant tretieho problému z kombinatoriky. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje na usporiadanie pätnástich kníh, za predpokladu, že si potrebujete vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.

Pre riešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto najprv musíte zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich kníh z pätnástich.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To je všetko. Pomocou tohto vzorca bolo možné v čo najkratšom čase vyriešiť takýto problém, odpoveď je 155 117 520.

Príklad riešenia. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď v jednoduchom probléme. Pomôže to však vizuálne vidieť a sledovať priebeh akcií.

Problém je daný tým, že v urne je desať absolútne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že dostanete modrú.

Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej lopty ako udalosť A. Táto skúsenosť môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako pravdepodobné. Zároveň je šesť z desiatich priaznivých pre udalosť A. Riešime pomocou vzorca:

P(A) = 6:10 = 0,6

Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.

Príklad riešenia. Pravdepodobnosť súčtu udalostí

Teraz bude predstavený variant, ktorý je riešený pomocou vzorca pre pravdepodobnosť súčtu udalostí. Takže za predpokladu, že existujú dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá obsahuje osem sivých a štyri biele gule. Výsledkom bolo, že jeden z nich bol odobratý z prvého a druhého boxu. Je potrebné zistiť, aká je šanca, že vytiahnuté loptičky budú sivobiele.

Na vyriešenie tohto problému je potrebné určiť udalosti.

• Takže, A - vezmite sivú guľu z prvého poľa: P(A) = 1/6.
• A '- vzali bielu guľu aj z prvého poľa: P (A ") \u003d 5/6.
• B - sivá guľa bola vytiahnutá už z druhého boxu: P(B) = 2/3.
• B' - vybrali sivú guľu z druhej škatule: P(B") = 1/3.

Podľa stavu problému je potrebné, aby sa vyskytol jeden z javov: AB 'alebo A'B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz bol použitý vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu na ich sčítanie:

P \u003d P (AB" + A "B) \u003d P (AB") + P (A "B) \u003d 18.11.

Takže pomocou vzorca môžete vyriešiť podobné problémy.

Výsledok

Článok priniesol informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej hrá zásadnú úlohu pravdepodobnosť udalosti. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky dá zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v profesionálnej práci, ale aj v každodennom živote. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.

Text sa dotkol aj významných dátumov v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mien ľudí, ktorých diela boli do nej investované. Takto ľudská zvedavosť viedla k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to len zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!

O vznešených dlho neuvažujme – začnime hneď s definíciou.

Bernoulliho schéma je, keď sa vykonáva n nezávislých experimentov rovnakého typu, v každom z nich sa môže objaviť udalosť, ktorá nás zaujíma A, a pravdepodobnosť tejto udalosti je známa P (A) \u003d str. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že udalosť A nastane presne k-krát počas n pokusov.

Úlohy, ktoré sa riešia podľa Bernoulliho schémy, sú mimoriadne rozmanité: od jednoduchých (napríklad „nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne 1 z 10“), až po veľmi ťažké (napríklad úlohy na percentá alebo hracie karty) . V skutočnosti sa táto schéma často používa na riešenie problémov súvisiacich s kontrolou kvality výrobkov a spoľahlivosťou rôznych mechanizmov, ktorých všetky vlastnosti musia byť známe pred začatím práce.

Vráťme sa k definícii. Keďže hovoríme o nezávislých pokusoch a v každom pokuse je pravdepodobnosť udalosti A rovnaká, sú možné len dva výsledky:

1. A je výskyt udalosti A s pravdepodobnosťou p;
2. "nie A" - udalosť A nenastala, čo nastáva s pravdepodobnosťou q = 1 − p.

Najdôležitejšou podmienkou, bez ktorej Bernoulliho schéma stráca zmysel, je stálosť. Bez ohľadu na to, koľko experimentov vykonáme, zaujíma nás tá istá udalosť A, ktorá nastane s rovnakou pravdepodobnosťou p.

Mimochodom, nie všetky problémy v teórii pravdepodobnosti možno redukovať na konštantné podmienky. Každý kompetentný učiteľ vyššej matematiky vám o tom povie. Dokonca aj niečo také jednoduché ako vyberanie farebných loptičiek z krabice nie je experiment s konštantnými podmienkami. Vytiahli ďalšiu guľu - pomer farieb v krabici sa zmenil. Preto sa zmenili aj pravdepodobnosti.

Ak sú podmienky konštantné, je možné presne určiť pravdepodobnosť, že udalosť A nastane presne k krát z n možných. Túto skutočnosť sformulujeme vo forme vety:

Bernoulliho veta. Nech je pravdepodobnosť výskytu javu A v každom experimente konštantná a rovná sa p. Potom pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch sa udalosť A objaví presne k-krát, vypočítame podľa vzorca:

kde C n k je počet kombinácií, q = 1 − p.

Tento vzorec sa nazýva Bernoulliho vzorec. Je zaujímavé poznamenať, že nižšie uvedené problémy sú úplne vyriešené bez použitia tohto vzorca. Môžete napríklad použiť vzorce sčítania pravdepodobnosti. Množstvo výpočtov však bude jednoducho nereálne.

Úloha. Pravdepodobnosť výroby chybného výrobku na stroji je 0,2. Určte pravdepodobnosť, že v dávke desiatich dielov vyrobených na danom stroji bude práve k bez chýb. Vyriešte úlohu pre k = 0, 1, 10.

Predpokladom je, že nás zaujíma udalosť A uvoľnenia produktov bez defektov, ku ktorej dochádza zakaždým s pravdepodobnosťou p = 1 − 0,2 = 0,8. Musíme určiť pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane k-krát. Udalosť A je v protiklade k udalosti „nie A“, t.j. výroba chybného výrobku.

Máme teda: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Nájdeme teda pravdepodobnosť, že všetky diely v dávke sú chybné (k = 0), že iba jeden diel je chybný (k = 1) a že neexistujú žiadne chybné diely (k = 10):

Úloha. Minca sa hodí 6-krát. Strata erbu a chvostov je rovnako pravdepodobná. Nájdite pravdepodobnosť, že:

1. erb trikrát klesne;
2. erb raz klesne;
3. erb sa objaví najmenej dvakrát.

Nás teda zaujíma udalosť A, keď padne erb. Pravdepodobnosť tejto udalosti je p = 0,5. Udalosť A je protikladom k udalosti „nie A“, keď sa objavia chvosty, čo sa deje s pravdepodobnosťou q = 1 − 0,5 = 0,5. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že erb vypadne k-krát.

Máme teda: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Určme pravdepodobnosť, že erb vypadol trikrát, t.j. k = 3:

Teraz určme pravdepodobnosť, že erb vypadol iba raz, t.j. k = 1:

Zostáva určiť, s akou pravdepodobnosťou vypadne erb aspoň dvakrát. Hlavný háčik je vo fráze „nie menej“. Ukazuje sa, že nám bude vyhovovať ľubovoľné k, okrem 0 a 1, t.j. musíte nájsť hodnotu súčtu X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Všimnite si, že aj tento súčet sa rovná (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), t.j. zo všetkých možných možností stačí „vystrihnúť“ tie, keď erb vypadol 1-krát (k = 1) alebo nevypadol vôbec (k = 0). Keďže P 6 (1) už vieme, zostáva nájsť P 6 (0):

Úloha. Pravdepodobnosť, že televízor má skryté chyby, je 0,2. Sklad prijal 20 televízorov. Ktorá udalosť je pravdepodobnejšia: že v tejto sérii sú dva televízory so skrytými chybami alebo tri?

Udalosť záujmu A je prítomnosť latentného defektu. Celkový počet TV n = 20, pravdepodobnosť skrytej chyby p = 0,2. Pravdepodobnosť získania televízora bez skrytej chyby je teda q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dostaneme východiskové podmienky pre Bernoulliho schému: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Nájdite pravdepodobnosť získania dvoch „chybných“ televízorov (k = 2) a troch (k = 3):

\[\begin(pole)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Je zrejmé, že P20(3) > P20(2), t.j. pravdepodobnosť získania troch televízorov so skrytými chybami je pravdepodobnejšie, že získate iba dva takéto televízory. Navyše rozdiel nie je slabý.

Malá poznámka o faktoriáli. Mnoho ľudí pociťuje neurčitý pocit nepohodlia, keď uvidia záznam "0!" (čítaj „nulový faktoriál“). Takže 0! = 1 podľa definície.

P. S. A najväčšia pravdepodobnosť v poslednej úlohe je získať štyri televízory so skrytými chybami. Spočítajte si to a presvedčte sa sami.

Pravdepodobnosť opačná udalosť

Predstavte si nejakú náhodnú udalosť A, a nech je jeho pravdepodobnosť p(A) známy. Potom pravdepodobnosť opačnej udalosti je určená vzorcom

. (1.8)

Dôkaz. Pripomeňme, že podľa axiómy 3 pre nezlučiteľné udalosti

p(A+B) = p(A) + p(B).

Kvôli nekompatibilite A A

Dôsledok., to znamená, že pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Vzorec (1.8) sa používa na určenie napríklad pravdepodobnosti neúspechu, ak je známa pravdepodobnosť zásahu (alebo naopak, pravdepodobnosti zásahu, ak je známa pravdepodobnosť chýbania; napríklad ak je pravdepodobnosť zásahu známa pištoľ je 0,9, pravdepodobnosť netrafenia pre ňu je (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí

Tu by bolo vhodné pripomenúť to pre nezlučiteľné udalosti tento vzorec vyzerá takto:

Príklad. Závod vyrába 85 % výrobkov prvého stupňa a 10 % druhého stupňa. Ostatné položky sa považujú za chybné. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom odbere výrobku dostaneme chybu?

Riešenie. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Pravdepodobnosť súčtu akýchkoľvek dvoch náhodných udalostí rovná sa

Dôkaz. Predstavte si udalosť A + B ako súhrn nekompatibilných udalostí

Vzhľadom na nekompatibilitu A a získame podľa axiómy 3

Podobne zisťujeme

Nahradením posledne menovaného do predchádzajúceho vzorca dostaneme požadovaný (1.10) (obr. 2).

Príklad. Z 20 študentov zložilo skúšku z dejepisu 5 ľudí, 4 - in anglický jazyk, navyše 3 žiaci dostali dvojky v oboch predmetoch. Aké je percento žiakov v skupine, ktorí z týchto predmetov nemajú dvojky?

Riešenie. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70 %).

1. Podmienená pravdepodobnosť

V niektorých prípadoch je potrebné určiť pravdepodobnosť náhodnej udalosti B za predpokladu, že nastala náhodná udalosť A, ktorá má nenulovú pravdepodobnosť. Že udalosť A stalo, zužuje priestor elementárnych udalostí na množinu A zodpovedajúce tejto udalosti. Ďalšie úvahy sa budú vykonávať na príklade klasickej schémy. Nech W pozostáva z n rovnako možných elementárnych udalostí (výsledkov) a udalosti A priazne m(A) a udalosť AB - m (AB) výsledky. Označte podmienenú pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že A Stalo, - p(B|A). A-priory,

= .

Ak A stalo, potom jeden z m(A) výsledky a udalosť B môže nastať iba vtedy, ak dôjde k jednému z priaznivých výsledkov AB; takéto výsledky m (AB). Preto je prirodzené klásť podmienenú pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že A stalo, rovná sa pomeru

Zhrnutie, poďme všeobecná definícia: podmienená pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že nastala udalosť A s nenulovou pravdepodobnosťou , volal

. (1.11)

Je ľahké skontrolovať, či takto zavedená definícia spĺňa všetky axiómy, a teda všetky predtým dokázané vety sú pravdivé.

Často podmienená pravdepodobnosť p(B|A) možno ľahko zistiť z podmienok problému, v zložitejších prípadoch treba použiť definíciu (1.11).

Príklad. Urna obsahuje N loptičiek, z ktorých n je bielych a N-n čierna. Vyberie sa z neho loptička a bez toho, aby sa dala späť ( vzorka bez vrátenia ), získajte ďalšiu. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele?

Riešenie. Pri riešení tohto problému použijeme klasickú definíciu pravdepodobnosti aj pravidlo súčinu: označme A udalosť spočívajúcu v tom, že prvá bola vytiahnutá biela guľa (potom bola najprv vytiahnutá čierna guľa) a cez B udalosť spočívajúca v tom, že druhá loptička bola vytiahnutá biela guľa; Potom

.

Je ľahké vidieť, že pravdepodobnosť, že tri loptičky vytiahnuté v rade (bez výmeny) sú biele, je:

atď.

Príklad. Z 30 skúšobných lístkov si študent pripravil len 25. Ak odmietne odpovedať na prvý odobratý lístok (čo nevie), môže si vziať druhý. Určte pravdepodobnosť, že druhý tiket je šťastný.

Riešenie. Nechajte udalosť A spočíva v tom, že prvý vyžrebovaný tiket sa ukázal byť pre študenta „zlý“, a B- druhý - ²dobrý². Pretože po udalosti A jeden „zlý“ je už vylúštený, potom zostáva už len 29 lístkov, z ktorých 25 študent pozná. Požadovaná pravdepodobnosť, za predpokladu, že výskyt akéhokoľvek lístka je rovnako možný a že sa nevráti späť, je teda rovná .

1. Pravdepodobnosť produktu

Vzťah (1.11), za predpokladu, že p(A) alebo p(B) sa nerovnajú nule, môžu byť zapísané v tvare

Tento pomer sa nazýva veta o pravdepodobnosti súčinu dvoch udalostí , ktorý možno zovšeobecniť na ľubovoľný počet faktorov, napríklad pre tri má tvar

Príklad. Za podmienok predchádzajúceho príkladu nájdite pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky, ak na to musí študent odpovedať na prvý lístok, alebo bez odpovede na prvý, nezabudnite odpovedať na druhý.

Riešenie. Nechajte udalosti A A B sú, že prvý a druhý lístok sú „dobré“. Potom - vzhľad "zlého" lístka prvýkrát. Skúška sa vykoná, ak dôjde k udalosti A alebo súčasne a B. To znamená, že požadovaná udalosť C - úspešné doručenie vyšetrenie je vyjadrené takto: C = A+ .Odtiaľto

Tu sme využili nekompatibilitu A a teda nekompatibilita A a , vety o pravdepodobnosti súčtu a súčinu a klasická definícia pravdepodobnosti pri výpočte p(A) A .

Tento problém možno vyriešiť ešte jednoduchšie, ak použijeme vetu o pravdepodobnosti opačnej udalosti:

1. Nezávislosť udalostí

Náhodné udalosti A a Bzavolajme sinezávislý, Ak

Pre nezávislé udalosti z (1.11) vyplýva, že ; platí to aj naopak.

Nezávislosť udalostíznamená, že výskyt udalosti A nemení pravdepodobnosť výskytu udalosti B, to znamená, že podmienená pravdepodobnosť sa rovná nepodmienenej .

Príklad. Zoberme si predchádzajúci príklad s urnou obsahujúcou N loptičiek, z ktorých n je bielych, ale zmeňme skúsenosť: keď sme vytiahli loptičku, vložíme ju späť a až potom vyberieme ďalšiu ( aport s návratom ).

A je udalosť, že biela guľa bola vytiahnutá ako prvá, udalosť, že čierna guľa bola vytiahnutá ako prvá, a B je udalosť, že biela guľa bola vytiahnutá ako druhá; Potom

to znamená, že v tomto prípade sú udalosti A a B nezávislé.

Pri vzorkovaní s návratom sú teda udalosti pri druhom ťahaní lopty nezávislé od udalostí prvého ťahania, ale pri vzorkovaní bez výmeny tomu tak nie je. Pre veľké N a n sú však tieto pravdepodobnosti veľmi blízko sebe. Používa sa to preto, že sa niekedy vykonáva odber vzoriek bez výmeny (napríklad pri kontrole kvality, keď testovanie objektu vedie k jeho zničeniu) a výpočty sa vykonávajú pomocou vzorcov na odber vzoriek s náhradou, ktoré sú jednoduchšie.

V praxi sa pri výpočte pravdepodobností často používa pravidlo, podľa ktorého z fyzickej nezávislosti dejov vyplýva ich nezávislosť v pravdepodobnostnom zmysle .

Príklad. Pravdepodobnosť, že človek vo veku 60 rokov nezomrie v budúcom roku, je 0,91. Poisťovňa poisťuje na rok život dvom ľuďom vo veku 60 rokov.

Pravdepodobnosť, že nikto z nich nezomrie: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Pravdepodobnosť, že obaja zomrú:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 x 0,09 = 0,0081.

Pravdepodobnosť úmrtia aspoň jeden:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Pravdepodobnosť úmrtia jeden:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Systém udalostí A1, A2,..., A n agregovane nazývame nezávislé, ak sa pravdepodobnosť súčinu rovná súčinu pravdepodobností pre akúkoľvek kombináciu faktorov z tohto systému. V tomto prípade najmä

Príklad.Šifra trezoru pozostáva zo siedmich desatinné číslice. Aká je pravdepodobnosť, že sa to zlodejovi podarí hneď na prvý raz?

Na každej zo 7 pozícií môžete vytočiť ktorúkoľvek z 10 číslic 0,1,2,...,9, celkovo teda 10 7 čísel, počnúc 0000000 a končiac 9999999.

Príklad. Kód trezoru pozostáva z ruského písmena (je ich 33) a troch číslic. Aká je pravdepodobnosť, že sa to zlodejovi podarí hneď na prvý raz?

P = (1/33) x (1/10) 3.

Príklad. Vo viac všeobecný pohľad poistný problém: pravdepodobnosť, že človek vo veku ... rokov nezomrie v nasledujúcom roku je p. Poisťovňa poisťuje život n ľuďom v tomto veku na rok.

Pravdepodobnosť, že nikto z nich nezomrie: pn (nemusia nikomu platiť poistné).

Pravdepodobnosť úmrtia aspoň jeden: 1 - p n (prichádzajú platby).

Pravdepodobnosť, že oni Všetky die: (1 – p) n (najväčšie výplaty).

Pravdepodobnosť úmrtia jeden: n × (1 – p) × p n-1 (ak sú ľudia očíslovaní, tak ten, kto zomrie, môže byť očíslovaný 1, 2,…,n – ide o n rôznych udalostí, z ktorých každá má pravdepodobnosť (1 – p) × pn-1).

1. Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Nechajte udalosti H1, H2, ..., Hn splniť podmienky

Ak .

Takáto zbierka je tzv celá skupina podujatí.

Predpokladajme, že poznáme pravdepodobnosti p(Ahoj), p(A/H i). V tomto prípade platí vzorec celkovej pravdepodobnosti

. (1.14)

Dôkaz. Využime čo Ahoj(zvyčajne sa nazývajú hypotéz ) sú párovo nekonzistentné (teda nekonzistentné a Ahoj× A), a ich súčet je určitou udalosťou

Táto schéma sa odohráva vždy, keď môžeme hovoriť o rozdelení celého priestoru udalostí na niekoľko, všeobecne povedané, heterogénnych regiónov. V ekonomike ide o rozdelenie krajiny alebo oblasti na regióny rôznej veľkosti a rozdielne podmienky keď je známy podiel každého regiónu p(ahoj) a pravdepodobnosť (podiel) nejakého parametra v každom kraji (napr. percento nezamestnaných - to je v každom kraji iné) - p(A/Ahoj). Sklad môže obsahovať produkty z troch rôznych tovární, ktoré dodávajú rôzne množstvá produktov s rôznym percentom chýb atď.

Príklad. Odlievanie ošípaných pochádza z dvoch obchodov do tretieho: 70 % z prvého a 30 % z druhého. Zároveň majú výrobky prvej dielne 10% chýb a druhá - 20%. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratý disk má chybu.

Riešenie: p(Hi) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (v priemere 13 % prírezov v tretej predajni je chybných).

Matematický model môže byť napríklad toto: existuje niekoľko urien odlišné zloženie; v prvej urne je n 1 loptičiek, z toho m 1 bielych a pod. Vzorec celkovej pravdepodobnosti sa používa na nájdenie pravdepodobnosti náhodným výberom urny, ako z nej získať bielu guľu.

Problémy sa vo všeobecnom prípade riešia rovnakým spôsobom.

Príklad. Vráťme sa k príkladu s urnou obsahujúcou N loptičiek, z ktorých n je bielych. Dostávame z nej (bez návratu) dve loptičky. Aká je pravdepodobnosť, že druhá guľa je biela?

Riešenie. H 1 - prvá guľa je biela; p(Hi)=n/N;

H 2 - prvá guľa je čierna; p(H2)=(N-n)/N;

B - druhá guľa je biela; p(B|H1)=(n-l)/(N-l); p(B|H2)=n/(N-l);

Rovnaký model možno použiť na riešenie nasledujúceho problému: z N lístkov sa študent naučil iba n. Čo je pre neho výhodnejšie - ťahať lístok prvý alebo druhý? Ukazuje sa, že v každom prípade je to s pravdepodobnosťou n/N vytiahne dobrý tiket as pravdepodobnosťou ( N-n)/N- zlý.

Príklad. Určte pravdepodobnosť, že cestujúci opúšťajúci bod A skončí v bode B, ak si na križovatke náhodne vyberie akúkoľvek cestu (okrem spiatočnej). Cestná mapa je znázornená na obr. 1.3.

Riešenie. Príchod cestujúceho do bodov H 1 , H 2 , H 3 a H 4 nech sú zodpovedajúce hypotézy. Je zrejmé, že tvoria ucelenú skupinu udalostí a podľa stavu problému,

p(H1) = p(H2) = p(H3) = p(H4) = 0,25.

(Všetky smery z A sú pre cestujúceho rovnako možné). Podľa cestnej schémy sa podmienené pravdepodobnosti zasiahnutia B, za predpokladu, že cestujúci prešiel cez Hi, rovnajú:

Aplikovaním vzorca celkovej pravdepodobnosti dostaneme

1. Bayesov vzorec

Predpokladajme, že sú splnené podmienky predchádzajúceho odseku a navyše je známe, že udalosť A Stalo. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hypotéza splnila H k. Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti

. (1.15)

Výsledný pomer je tzv Bayesov vzorec. Dáva najavo
(pred experimentom) apriórne pravdepodobnosti hypotéz p(ahoj) a podmienené pravdepodobnosti p(A|Ahoj) určiť podmienenú pravdepodobnosť p(H k |A), ktorá sa volá a posteriori (t. j. získané pod podmienkou, že v dôsledku zážitku udalosť A sa už stalo).

Príklad. 30% pacientov prijatých do nemocnice patrí do prvej sociálnej skupiny, 20% - do druhej a 50% - do tretej. Pravdepodobnosť nákazy tuberkulózou u zástupcu každého z nich sociálna skupina sa rovná 0,02, 0,03 a 0,01. Testy vykonané u náhodne vybraného pacienta preukázali prítomnosť tuberkulózy. Nájdite pravdepodobnosť, že ide o zástupcu tretej skupiny.