Pôvodne bola teória pravdepodobnosti len zbierkou informácií a empirických pozorovaní z hry kocky, z ktorej sa stala solídna veda. Fermat a Pascal boli prví, ktorí tomu dali matematický rámec.

Od úvah o večnom k ​​teórii pravdepodobnosti

Dvaja jednotlivci, ktorým teória pravdepodobnosti vďačí za mnohé základné vzorce, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známi ako hlboko veriaci ľudia, druhý z nich bol presbyteriánskym kazateľom. Zdá sa, že túžba týchto dvoch vedcov dokázať mylnú predstavu o istej Fortune, darovať šťastie jej obľúbencom, dala impulz výskumu v tejto oblasti. Veď v skutočnosti je každá hazardná hra so svojimi výhrami a prehrami len symfóniou matematických princípov.

Vďaka nadšeniu Chevalier de Mere, ktorý bol rovnako hazardným hráčom a človekom, ktorému nebola ľahostajná veda, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. De Mere zaujala táto otázka: „Koľkokrát je potrebné hodiť dve kocky v pároch, aby pravdepodobnosť získania 12 bodov presiahla 50 %?“. Druhá otázka, ktorá pána mimoriadne zaujala: "Ako rozdeliť stávku medzi účastníkov nedokončenej hry?" Pascal samozrejme úspešne odpovedal na obe otázky de Mereho, ktorý sa stal nevedomým iniciátorom rozvoja teórie pravdepodobnosti. Je zaujímavé, že osoba de Mere zostala známa v tejto oblasti, a nie v literatúre.

Predtým sa žiadny matematik ešte nepokúsil vypočítať pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že ide len o hádanie. Blaise Pascal dal prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázal, že ide o špecifický údaj, ktorý možno matematicky zdôvodniť. Teória pravdepodobnosti sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je náhodnosť

Zvážte test, ktorý sa môže opakovať nekonečné čísločasy, potom môžete definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z možných výsledkov tejto skúsenosti.

Skúsenosť je vykonávanie konkrétnych akcií v konštantných podmienkach.

Aby bolo možné pracovať s výsledkami skúseností, udalosti sa zvyčajne označujú písmenami A, B, C, D, E ...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby sme mohli prejsť k matematickej časti pravdepodobnosti, je potrebné definovať všetky jej zložky.

Pravdepodobnosť udalosti je numerická miera možnosti výskytu nejakej udalosti (A alebo B) v dôsledku skúsenosti. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A) alebo P(B).

Teória pravdepodobnosti je:

• spoľahlivý udalosť sa zaručene vyskytne ako výsledok experimentu Р(Ω) = 1;
• nemožné udalosť sa nikdy nemôže stať Р(Ø) = 0;
• náhodný udalosť leží medzi istou a nemožnou, to znamená, že pravdepodobnosť jej výskytu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy v rámci 0≤P(A)≤1).

Vzťahy medzi udalosťami

Jedna aj súčet udalostí A + B sa berú do úvahy, keď sa udalosť započítava do implementácie aspoň jednej zo zložiek, A alebo B, alebo oboch - A aj B.

Vo vzájomnom vzťahu môžu byť udalosti:

• Rovnako možné.
• kompatibilné.
• Nekompatibilné.
• Opačný (vzájomne sa vylučujúci).
• Závislý.

Ak sa dve udalosti môžu stať s rovnakou pravdepodobnosťou, tak potom rovnako možné.

Ak výskyt udalosti A neruší pravdepodobnosť výskytu udalosti B, potom oni kompatibilné.

Ak udalosti A a B nikdy nenastanú v rovnakom čase v tom istom experimente, potom sa nazývajú nezlučiteľné. hod mincou - dobrý príklad: vzhľad chvostov automaticky znamená, že sa neobjavia hlavy.

Pravdepodobnosť súčtu takýchto nezlučiteľných udalostí pozostáva zo súčtu pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak výskyt jednej udalosti znemožňuje výskyt inej udalosti, potom sa nazývajú opačné. Potom je jeden z nich označený ako A a druhý - Ā (čítaj ako „nie A“). Výskyt udalosti A znamená, že Ā nenastala. Tieto dve udalosti tvoria kompletnú skupinu so súčtom pravdepodobností rovným 1.

Závislé udalosti sa vzájomne ovplyvňujú, navzájom sa znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Oveľa jednoduchšie je pochopiť princípy teórie pravdepodobnosti a kombinácie udalostí pomocou príkladov.

Experiment, ktorý sa uskutoční, je vytiahnuť loptičky z krabice a výsledkom každého experimentu je elementárny výsledok.

Podujatie je jedným z možné výsledky skúsenosti - červená guľa, modrá guľa, guľa s číslom šesť atď.

Test číslo 1. K dispozícii je 6 loptičiek, z ktorých tri sú modré s nepárnymi číslami a ďalšie tri sú červené s párnymi číslami.

Test číslo 2. Zúčastňuje sa 6 loptičiek modrej farby s číslami od jedna do šesť.

Na základe tohto príkladu môžeme pomenovať kombinácie:

• Spoľahlivé podujatie. V španielčine Č. 2, udalosť "získaj modrú loptičku" je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 1, pretože všetky loptičky sú modré a nemôže chýbať. Zatiaľ čo udalosť „získaj loptu s číslom 1“ je náhodná.
• Nemožná udalosť. V španielčine 1 s modrými a červenými loptičkami je udalosť „získaj fialovú guľu“ nemožná, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 0.
• Ekvivalentné udalosti. V španielčine Č. 1, udalosti „získaj loptu s číslom 2“ a „získaj loptu s číslom 3“ sú rovnako pravdepodobné a udalosti „získaj loptu s párnym číslom“ a „dostaň loptu s číslom 2“ “ majú rôzne pravdepodobnosti.
• Kompatibilné udalosti. Získanie šestky v procese hodu kockou dvakrát za sebou sú kompatibilné udalosti.
• Nekompatibilné udalosti. V tej istej španielčine Udalosti č. 1 „získaj červenú loptičku“ a „získaj loptičku s nepárnym číslom“ nemožno kombinovať v rovnakom zážitku.
• opačné udalosti. Väčšina ukážkový príklad Ide o hádzanie mincí, kedy je kreslenie hláv rovnaké ako nekreslenie chvostov a súčet ich pravdepodobností je vždy 1 (celá skupina).
• Závislé udalosti. Takže po španielsky Č. 1, môžete si dať za cieľ vytiahnuť červenú guľu dvakrát za sebou. Jeho extrahovanie alebo neextrahovanie prvýkrát ovplyvňuje pravdepodobnosť jeho extrakcie druhýkrát.

Je vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od veštenia k exaktným údajom nastáva prenesením témy do matematickej roviny. To znamená, že úsudky o náhodnej udalosti, ako je „vysoká pravdepodobnosť“ alebo „minimálna pravdepodobnosť“, možno previesť na špecifické číselné údaje. Takýto materiál je už prípustné hodnotiť, porovnávať a zavádzať do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je definícia pravdepodobnosti udalosti pomerom počtu elementárnych pozitívnych výsledkov k počtu všetkých možných výsledkov skúsenosti s ohľadom na konkrétnu udalosť. Pravdepodobnosť sa označuje P (A), kde P znamená slovo „pravdepodobnosť“, čo je z francúzštiny preložené ako „pravdepodobnosť“.

Takže vzorec pre pravdepodobnosť udalosti je:

Kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť A, n je súčet všetkých možných výsledkov pre túto skúsenosť. Pravdepodobnosť udalosti je vždy medzi 0 a 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmime si španielčinu. č. 1 s loptičkami, ktorý je popísaný vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červené gule s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu možno zvážiť niekoľko rôznych úloh:

• A - pokles červenej gule. K dispozícii sú 3 červené gule a celkovo 6 možností najjednoduchší príklad, v ktorom je pravdepodobnosť udalosti P(A)=3/6=0,5.
• B - vypustenie párneho čísla. Spolu sú 3 (2,4,6) párne čísla a Celkom možných číselných možností - 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
• C - strata čísla väčšieho ako 2. Takéto možnosti sú 4 (3,4,5,6) z celkového počtu možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti C je P(C)=4/6= 0,67.

Ako je možné vidieť z výpočtov, udalosť C má vyššiu pravdepodobnosť, pretože počet možných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v prípade A a B.

Nekompatibilné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu objaviť súčasne v tej istej skúsenosti. Ako v španielčine č.1, nie je možné získať modrú a červenú loptičku súčasne. To znamená, že môžete získať modrú alebo červenú guľu. Rovnako tak sa v kocke nemôže súčasne objaviť párne a nepárne číslo.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu alebo súčinu. Súčet takýchto udalostí A + B sa považuje za udalosť, ktorá spočíva v objavení sa udalosti A alebo B a súčin ich AB - v objavení sa oboch. Napríklad vzhľad dvoch šestiek naraz na tvárach dvoch kociek v jednom hode.

Súčet niekoľkých udalostí je udalosť, ktorá implikuje výskyt, tým najmenej, jeden z nich. Výsledkom viacerých udalostí je spoločný výskyt všetkých.

V teórii pravdepodobnosti spravidla použitie spojenia „a“ označuje súčet, spojenie „alebo“ - násobenie. Vzorce s príkladmi vám pomôžu pochopiť logiku sčítania a násobenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí

Ak sa berie do úvahy pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napríklad: vypočítame pravdepodobnosť, že v španiel. Č. 1 s modrými a červenými guľôčkami padne číslo medzi 1 a 4. Počítame nie jednou akciou, ale súčtom pravdepodobností elementárnych zložiek. Takže v takomto experimente je len 6 loptičiek alebo 6 zo všetkých možných výsledkov. Čísla spĺňajúce podmienku sú 2 a 3. Pravdepodobnosť získania čísla 2 je 1/6, pravdepodobnosť čísla 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť získania čísla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnosť súčtu nekompatibilných udalostí celej skupiny je 1.

Ak teda v experimente s kockou spočítame pravdepodobnosti získania všetkých čísel, vo výsledku dostaneme jedno.

To platí aj pre opačné udalosti, napríklad v experimente s mincou, kde jedna z jej strán je udalosť A a druhá opačná udalosť Ako viete,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Pravdepodobnosť vzniku nekompatibilných udalostí

Násobenie pravdepodobností sa používa pri zvažovaní výskytu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že sa v ňom udalosti A a B objavia súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napríklad pravdepodobnosť, že v č. 1 ako výsledok dvoch pokusov sa dvakrát objaví modrá guľa, rovná sa

To znamená, že pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti, keď v dôsledku dvoch pokusov s extrakciou loptičiek budú extrahované iba modré loptičky, je 25%. Je veľmi jednoduché urobiť praktické experimenty s týmto problémom a zistiť, či je to skutočne tak.

Spoločné akcie

Udalosti sa považujú za spoločné, keď sa vzhľad jednej z nich môže zhodovať so vzhľadom druhej. Napriek tomu, že sú spoločné, zvažuje sa pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad hod dvoma kockami môže dať výsledok, keď na oboch padne číslo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa v rovnakom čase, sú na sebe nezávislé – vypadnúť mohla len jedna šestka, druhá kocka nemá žiadnu vplyv na to.

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť súčtu udalostí A a B, ktoré sú vo vzájomnom vzťahu spoločné, sa rovná súčtu pravdepodobností udalosti mínus pravdepodobnosť ich súčinu (teda ich spoločnej realizácie):

R kĺb. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,4. Potom udalosť A - zasiahnutie cieľa v prvom pokuse, B - v druhom pokuse. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že je možné zasiahnuť cieľ z prvého aj z druhého výstrelu. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami (aspoň jednou)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku znie: "Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami je 64%."

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti možno aplikovať aj na nezlučiteľné udalosti, kde pravdepodobnosť spoločného výskytu udalosti P(AB) = 0. To znamená, že pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí možno považovať za špeciálny prípad. navrhovaného vzorca.

Pravdepodobná geometria pre prehľadnosť

Je zaujímavé, že pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí možno znázorniť ako dve oblasti A a B, ktoré sa navzájom pretínajú. Ako vidíte na obrázku, oblasť ich spojenia sa rovná Celková plocha mínus oblasť ich priesečníka. Toto geometrické vysvetlenie robí zdanlivo nelogický vzorec zrozumiteľnejším. Poznač si to geometrické riešenia nie je nezvyčajné v teórii pravdepodobnosti.

Definícia pravdepodobnosti súčtu množiny (viac ako dvoch) spoločných udalostí je dosť ťažkopádna. Na jej výpočet je potrebné použiť vzorce, ktoré sú pre tieto prípady poskytnuté.

Závislé udalosti

Závislé udalosti sa nazývajú, ak výskyt jednej (A) z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej (B). Okrem toho sa berie do úvahy vplyv tak výskytu udalosti A, ako aj jej neprítomnosti. Hoci udalosti sa podľa definície nazývajú závislé, iba jedna z nich je závislá (B). Obvyklá pravdepodobnosť bola označená ako P(B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislých sa zavádza nový pojem - podmienená pravdepodobnosť P A (B), čo je pravdepodobnosť závislej udalosti B za podmienky, že nastala udalosť A (hypotéza), od ktorej závisí.

Ale udalosť A je tiež náhodná, takže má aj pravdepodobnosť, ktorá sa musí a môže brať do úvahy pri výpočtoch. Nasledujúci príklad ukáže, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom na výpočet závislých udalostí je štandardný balíček kariet.

Na príklade balíčka 36 kariet zvážte závislé udalosti. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že druhá vytiahnutá karta z balíčka bude diamantová farba, ak prvá vytiahnutá karta je:

1. Tamburína.
2. Ďalší oblek.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti B závisí od prvej udalosti A. Ak teda platí prvá možnosť, čo je v balíčku o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnosť udalosti B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ak platí druhá možnosť, potom je v balíčku 35 kariet a celkový počet tamburín (9) je stále zachovaný, potom je pravdepodobnosť nasledujúcej udalosti B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Je vidieť, že ak je udalosť A podmienená tým, že prvá karta je diamant, tak pravdepodobnosť udalosti B klesá a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Na základe predchádzajúcej kapitoly prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, no v podstate má náhodný charakter. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne extrakcie tamburíny z balíčka kariet, sa rovná:

P(A) = 9/36 = 1/4

Keďže teória neexistuje sama o sebe, ale má slúžiť praktickým účelom, je spravodlivé poznamenať, že najčastejšie je potrebná pravdepodobnosť vzniku závislých udalostí.

Podľa vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí sa pravdepodobnosť výskytu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou udalosti B (v závislosti od A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Potom v príklade s balíčkom je pravdepodobnosť ťahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnosť, že sa najskôr vyťažia nie diamanty a potom diamanty, sa rovná:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je vidieť, že pravdepodobnosť výskytu udalosti B je väčšia za predpokladu, že sa najskôr vytiahne karta inej farby ako diamant. Tento výsledok je celkom logický a pochopiteľný.

Celková pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťami stane mnohostranným, nemožno ho vypočítať konvenčnými metódami. Ak existujú viac ako dve hypotézy, a to A1, A2, ..., A n , .. tvoria ucelenú skupinu udalostí za podmienky:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Takže vzorec pre celkovú pravdepodobnosť pre udalosť B s úplnou skupinou náhodných udalostí A1, A2, ..., A n je:

Pohľad do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je podstatná v mnohých oblastiach vedy: ekonometria, štatistika, fyzika atď. Keďže niektoré procesy nemožno opísať deterministicky, keďže samy sú pravdepodobnostné, sú potrebné špeciálne metódy práce. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej oblasti ako spôsob určenia možnosti chyby alebo poruchy.

Dá sa povedať, že rozpoznaním pravdepodobnosti akosi urobíme teoretický krok do budúcnosti, keď sa na ňu pozeráme cez prizmu vzorcov.

Je nepravdepodobné, že veľa ľudí premýšľa o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Rozprávanie jednoduchými slovami, či je reálne vedieť, ktorá strana kocky vypadne nabudúce. Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnosť udalosti študuje pomerne rozsiahle.

Pôvod

Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Samozrejme, tento koncept skutočne neodhaľuje celú podstatu, preto je potrebné ho zvážiť podrobnejšie.

Chcel by som začať tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja a práve oni boli medzi prvými, ktorí sa pokúsili vypočítať výsledok nejakej udalosti pomocou vzorcov a matematických výpočtov. Celkovo sa počiatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako napríklad ruletu, kocky atď., a tak stanoviť vzorec a percento vypadnutia konkrétneho čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.

Spočiatku sa ich práca nedala pripísať veľkým úspechom v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty sa robili vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času sa ukázalo, že dosahuje skvelé výsledky, ktoré sa objavili v dôsledku pozorovania hádzania kociek. Práve tento nástroj pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.

Rovnako zmýšľajúci ľudia

Je nemožné nespomenúť takú osobu, ako je Christian Huygens, v procese štúdia témy nazývanej „teória pravdepodobnosti“ (pravdepodobnosť udalosti je pokrytá práve v tejto vede). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť zákonitosť náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nijako neprelínali s týmito myšlienkami. Huygens vyviedol

Zaujímavosťou je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce objaviteľov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi označených konceptov sú najznámejšie:

• pojem pravdepodobnosti ako veľkosť náhody;
• matematické očakávania pre jednotlivé prípady;
• vety o násobení a sčítaní pravdepodobností.

Nedá sa nespomenúť ani na to, kto tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, sa mu podarilo predložiť dôkaz o zákone veľké čísla. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné teorémy dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v priebehu pozorovaní. Túto vedu nemohli obísť ani ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov. Na základe práce veľkých géniov zafixovali tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto figúry fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu sa objavili javy ako:

• zákon veľkých čísel;
• teória Markovových reťazcov;
• centrálna limitná veta.

Takže s históriou zrodu vedy a s hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je všetko viac-menej jasné. Teraz je čas skonkretizovať všetky fakty.

Základné pojmy

Predtým, ako sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to študovať základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom preberá vedúcu úlohu. Táto téma je dosť objemná, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. pojmov tento jav nie je toho veľa. Takže vedec Lotman, ktorý pracuje v tejto oblasti, povedal, že v tomto prípade hovoríme o tom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo“.

Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je pojem, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má schopnosť nastať. Alebo naopak, pri splnení mnohých podmienok tento scenár nenastane. Je tiež potrebné vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Práve ich správanie sa nazývalo „experiment“ alebo „test“.

Určitá udalosť je taká, ktorá sa 100% vyskytne v danom teste. Nemožná udalosť je teda taká, ktorá sa nestane.

Kombinácia dvojice akcií (podmienečne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.

Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jedna z nich (A alebo B), získa sa C. Vzorec opísaného javu je napísaný takto: C \u003d A + B.

Disjunktné udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že tieto dva prípady sa navzájom vylučujú. Nikdy sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. To znamená, že ak sa stalo A, potom to nebráni B žiadnym spôsobom.

Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti sa nimi zaoberá veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepšie je s nimi zaobchádzať v porovnaní. Sú takmer rovnaké ako nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ale ich rozdiel spočíva v tom, že v každom prípade musí nastať jeden z mnohých javov.

Rovnako pravdepodobné sú udalosti, ktorých možnosť opakovania je rovnaká. Aby to bolo jasnejšie, môžeme si predstaviť hod mincou: strata jednej z jej strán s rovnakou pravdepodobnosťou vypadne z druhej.

Priaznivú udalosť je ľahšie vidieť na príklade. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvou je hod kockou s výskytom nepárneho čísla a druhou je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.

Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akéhokoľvek konania od iného. Napríklad A - padanie chvostov pri hádzaní mince a B - získanie zdviháka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto bode sa to vyjasnilo.

Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B môže nastať iba vtedy, ak sa A už stalo alebo naopak nestalo, keď je to hlavná podmienka pre B.

Výsledkom náhodného experimentu pozostávajúceho z jednej zložky sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.

Základné vzorce

Takže pojmy „udalosť“, „teória pravdepodobnosti“ boli zvážené vyššie, bola tiež uvedená definícia hlavných pojmov tejto vedy. Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležitými vzorcami. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak náročnom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.

Je lepšie začať s hlavnými.A predtým, ako sa k nim pristúpite, stojí za to zvážiť, čo to je.

Kombinatorika je predovšetkým odvetvím matematiky, zaoberá sa štúdiom veľkého množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., Ktoré vedú k vzniku množstva kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.

Teraz teda môžete prejsť k prezentácii samotných vzorcov a ich definície.

Prvým z nich bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Rovnica platí len vtedy, ak sa prvky líšia len v poradí.

Teraz sa zváži vzorec umiestnenia, vyzerá takto:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tento výraz sa vzťahuje nielen na poradie prvku, ale aj na jeho zloženie.

Tretia a zároveň posledná rovnica z kombinatoriky sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinácia sa nazýva výber, ktorý nie je usporiadaný, a toto pravidlo sa na ne vzťahuje.

Ukázalo sa, že je ľahké prísť na vzorce kombinatoriky, teraz môžeme prejsť ku klasickej definícii pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:

V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.

Existuje veľké množstvo výrazy, článok sa nebude týkať všetkých, ale dotkne sa najdôležitejších z nich, ako napríklad pravdepodobnosti súčtu udalostí:

P(A + B) = P(A) + P(B) - táto veta slúži na sčítanie iba nekompatibilných udalostí;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridávanie iba kompatibilných.

Pravdepodobnosť vzniku udalostí:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - táto veta platí pre nezávislé udalosti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre závislé osoby.

Vzorec udalosti ukončí zoznam. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

V tomto vzorci je H 1, H 2, …, Hn celá skupina hypotéz.

Príklady

Ak pozorne študujete akýkoľvek odbor matematiky, bez cvičení a vzorových riešení sa nezaobíde. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti, príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.

Vzorec pre počet permutácií

Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc nominálnou hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné naskladať balíček tak, aby karty s nominálnou hodnotou jedna a dve neboli vedľa seba?

Úloha je nastavená, teraz prejdime k jej riešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vyššie uvedený vzorec, ukáže sa P_30 = 30!.

Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no treba od nich odpočítať tie, v ktorých sú na rade prvá a druhá karta. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaujať dvadsaťdeväť miest - od prvej do dvadsiatej deviatej a druhá karta od druhej do tridsiateho, ukazuje sa, že pre pár kariet je iba dvadsaťdeväť miest. Zvyšok môže obsadiť dvadsaťosem miest a v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre permutáciu dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28 = 28!

V dôsledku toho sa ukazuje, že ak zvážime riešenie, keď je prvá karta nad druhou, existuje 29 ⋅ 28 možností navyše! = 29!

Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplýva, že existujú 2 ⋅ 29! možnosti navyše, pričom je potrebných 30 spôsobov, ako zostaviť balíček! - 2 ⋅ 29!. Zostáva len počítať.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musíte medzi sebou vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť a potom na konci všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Príklad riešenia. Vzorec pre číslo umiestnenia

V tomto probléme musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale pod podmienkou, že celkovo je tridsať zväzkov.

V tomto probléme je riešenie o niečo jednoduchšie ako v predchádzajúcom. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet aranžmánov z tridsiatich zväzkov po pätnásť.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 700 3

Odpoveď sa bude rovnať 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz zoberme úlohu trochu zložitejšie. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, za predpokladu, že na jednej poličke môže byť iba pätnásť zväzkov.

Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy sa riešia niekoľkými spôsobmi, takže v tomto existujú dva spôsoby, ale v oboch sa používa rovnaký vzorec.

V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúcej, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete rôznymi spôsobmi naplniť policu pätnástimi knihami. Ukázalo sa, že A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Druhú policu vypočítame podľa permutačného vzorca, pretože je v nej umiestnených pätnásť kníh, pričom zostáva len pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje sa, že celkovo bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale okrem toho bude potrebné súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich vynásobiť súčinom čísel od jednej do pätnásť, v dôsledku toho bude získame súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, to znamená, že odpoveď je 30!

Ale tento problém sa dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje dve police, jednu dlhú prerežeme na polovicu, vyjde nám každá dve pätnásť. Z toho vyplýva, že možnosti umiestnenia môžu byť P_30 = 30!.

Príklad riešenia. Vzorec pre kombinačné číslo

Teraz zvážime variant tretieho problému z kombinatoriky. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje na usporiadanie pätnástich kníh, za predpokladu, že si potrebujete vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.

Pre riešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto musíte najprv zistiť celkový počet kombinácie tridsiatich kníh z pätnástich.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To je všetko. Pomocou tohto vzorca najkratší čas podarilo vyriešiť takýto problém, odpoveď je 155 117 520.

Príklad riešenia. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď v jednoduchom probléme. Pomôže to však vizuálne vidieť a sledovať priebeh akcií.

Problém je daný tým, že v urne je desať absolútne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že dostanete modrú.

Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej lopty ako udalosť A. Táto skúsenosť môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako pravdepodobné. Zároveň je šesť z desiatich priaznivých pre udalosť A. Riešime pomocou vzorca:

P(A) = 6:10 = 0,6

Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.

Príklad riešenia. Pravdepodobnosť súčtu udalostí

Teraz bude predstavený variant, ktorý je riešený pomocou vzorca pre pravdepodobnosť súčtu udalostí. Takže za predpokladu, že existujú dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá obsahuje osem sivých a štyri biele gule. Výsledkom bolo, že jeden z nich bol odobratý z prvého a druhého boxu. Je potrebné zistiť, aká je šanca, že vytiahnuté loptičky budú sivobiele.

Na vyriešenie tohto problému je potrebné určiť udalosti.

• Takže, A - vezmite sivú guľu z prvého poľa: P(A) = 1/6.
• A '- vzali bielu guľu aj z prvého poľa: P (A ") \u003d 5/6.
• B - sivá guľa bola vytiahnutá už z druhého boxu: P(B) = 2/3.
• B' - vybrali sivú guľu z druhej škatule: P(B") = 1/3.

Podľa stavu problému je potrebné, aby sa vyskytol jeden z javov: AB 'alebo A'B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz bol použitý vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu na ich sčítanie:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Takže pomocou vzorca môžete vyriešiť podobné problémy.

Výsledok

Článok priniesol informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej hrá zásadnú úlohu pravdepodobnosť udalosti. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky dá zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v odbornej práci, ale aj v Každodenný život. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.

Text sa dotkol aj významných dátumov v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mien ľudí, ktorých diela boli do nej investované. Takto ľudská zvedavosť viedla k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to len zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!

Pri hode mincou sa dá povedať, že pristane heads up, príp pravdepodobnosť z toho je 1/2. To samozrejme neznamená, že ak je minca hodená 10-krát, nevyhnutne 5-krát pristane na hlave. Ak je minca „spravodlivá“ a ak je hodená mnohokrát, hlavy sa polovicu času priblížia veľmi blízko. Existujú teda dva druhy pravdepodobnosti: experimentálne A teoretická .

Experimentálna a teoretická pravdepodobnosť

Ak hodíme mincou veľký počet krát - povedzme 1000 - a spočítame, koľkokrát padne hlavou, môžeme určiť pravdepodobnosť, že padne hlavou. Ak sa hlavy zdvihnú 503-krát, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa objavia:
503/1000 alebo 0,503.

Toto experimentálne definícia pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti vychádza z pozorovania a štúdia údajov a je celkom bežná a veľmi užitočná. Tu sú napríklad niektoré pravdepodobnosti, ktoré boli určené experimentálne:

1. Šanca, že žena dostane rakovinu prsníka, je 1/11.

2. Ak sa bozkávate s prechladnutým, tak pravdepodobnosť, že prechladnete aj vy, je 0,07.

3. Osoba, ktorá bola práve prepustená z väzenia, má 80% šancu vrátiť sa späť do väzenia.

Ak vezmeme do úvahy hod mincou a berieme do úvahy, že je rovnako pravdepodobné, že sa vrhne hore nohami, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa vrhnú hore nohami: 1/2. Toto je teoretická definícia pravdepodobnosti. Tu sú niektoré ďalšie pravdepodobnosti, ktoré boli teoreticky určené pomocou matematiky:

1. Ak je v miestnosti 30 ľudí, pravdepodobnosť, že dvaja z nich majú rovnaké narodeniny (okrem roku), je 0,706.

2. Počas cesty sa s niekým zoznámite a v priebehu rozhovoru zistíte, že máte spoločného známeho. Typická reakcia: "To nemôže byť!" V skutočnosti táto fráza nesedí, pretože pravdepodobnosť takejto udalosti je pomerne vysoká - niečo cez 22%.

Preto sa experimentálna pravdepodobnosť určuje pozorovaním a zberom údajov. Teoretické pravdepodobnosti sú určené matematickým uvažovaním. Príklady experimentálnych a teoretických pravdepodobností, ako sú uvedené vyššie, a najmä tie, ktoré neočakávame, nás vedú k dôležitosti štúdia pravdepodobnosti. Môžete sa opýtať: "Aká je skutočná pravdepodobnosť?" V skutočnosti žiadna neexistuje. Experimentálne je možné určiť pravdepodobnosti v určitých medziach. Môžu a nemusia sa zhodovať s pravdepodobnosťami, ktoré získame teoreticky. Existujú situácie, v ktorých je oveľa jednoduchšie definovať jeden typ pravdepodobnosti ako iný. Napríklad by stačilo nájsť pravdepodobnosť prechladnutia pomocou teoretickej pravdepodobnosti.

Výpočet experimentálnych pravdepodobností

Najprv zvážte experimentálnu definíciu pravdepodobnosti. Základný princíp, ktorý používame na výpočet takýchto pravdepodobností, je nasledujúci.

Princíp P (experimentálne)

Ak sa v experimente, v ktorom sa uskutoční n pozorovaní, situácia alebo udalosť E vyskytne m-krát v n pozorovaniach, potom sa hovorí, že experimentálna pravdepodobnosť udalosti je P (E) = m/n.

Príklad 1 Sociologický prieskum. Bola vykonaná experimentálna štúdia na zistenie počtu ľavákov, pravákov a ľudí, u ktorých sú obe ruky rovnako vyvinuté.Výsledky sú uvedené v grafe.

a) Určte pravdepodobnosť, že osoba je pravák.

b) Určte pravdepodobnosť, že osoba je ľavák.

c) Určte pravdepodobnosť, že osoba ovláda obe ruky rovnako.

d) Väčšina turnajov PBA má 120 hráčov. Na základe tohto experimentu, koľko hráčov môže byť ľavákov?

Riešenie

a) Počet ľudí, ktorí sú praváci je 82, počet ľavákov je 17 a počet tých, ktorí ovládajú obe ruky rovnako plynule, je 1. Celkový počet pozorovaní je 100. Pravdepodobnosť že človek je pravák je P
P = 82/100 alebo 0,82 alebo 82 %.

b) Pravdepodobnosť, že je človek ľavák, je P, kde
P = 17/100 alebo 0,17 alebo 17 %.

c) Pravdepodobnosť, že človek ovláda obe ruky rovnako plynulo je P, kde
P = 1/100 alebo 0,01 alebo 1 %.

d) 120 nadhadzovačov a od (b) môžeme očakávať, že 17 % bude ľavákov. Odtiaľ
17 % zo 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znamená, že môžeme očakávať približne 20 hráčov, ktorí budú ľaváci.

Príklad 2 Kontrola kvality . Je veľmi dôležité, aby výrobca dodržal kvalitu svojich výrobkov vysoký stupeň. V skutočnosti spoločnosti najímajú inšpektorov kontroly kvality, aby zabezpečili tento proces. Cieľom je uvoľniť minimálny možný počet chybných produktov. Ale keďže spoločnosť vyrába každý deň tisíce položiek, nemôže si dovoliť kontrolovať každú položku, aby zistila, či je chybná alebo nie. Aby spoločnosť zistila, aké percento produktov je chybných, testuje oveľa menej produktov.
ministerstvo poľnohospodárstvo USA vyžadujú, aby 80 % semien, ktoré pestovatelia predávajú, vyklíčilo. Na zistenie kvality semien, ktoré poľnohospodárska spoločnosť vyrába, sa vysadí 500 semien z vyprodukovaných semien. Potom sa vypočítalo, že vyklíčilo 417 semien.

a) Aká je pravdepodobnosť, že semienko vyklíči?

b) Spĺňajú semená vládne normy?

Riešenie a) Vieme, že z 500 zasadených semien 417 vyklíčilo. Pravdepodobnosť klíčenia semien P, a
P = 417/500 = 0,834 alebo 83,4 %.

b) Keďže percento vyklíčených semien na požiadanie prekročilo 80 %, semená spĺňajú štátne normy.

Príklad 3 TV hodnotenie. Podľa štatistík je v USA 105 500 000 televíznych domácností. Každý týždeň sa zbierajú a spracúvajú informácie o sledovanosti programov. V priebehu jedného týždňa si 7 815 000 domácností naladilo komediálny seriál CBS Everybody Loves Raymond a 8 302 000 domácností si naladilo hit NBC Law & Order (Zdroj: Nielsen Media Research). Aká je pravdepodobnosť, že jeden domáci televízor je počas daného týždňa naladený na „Everybody Loves Raymond“? na „Law & Order“?

Riešenie Pravdepodobnosť, že televízor v jednej domácnosti je nastavený na „Každý miluje Raymonda“ je P a
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Možnosť, že televízor pre domácnosť bol nastavený na „Zákon a poriadok“ je P a
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Tieto percentá sa nazývajú hodnotenia.

teoretická pravdepodobnosť

Predpokladajme, že robíme experiment, napríklad hádžeme mincou alebo šípkou, ťaháme kartu z balíčka alebo kontrolujeme kvalitu produktov na montážnej linke. Každý možný výsledok takéhoto experimentu sa nazýva Exodus . Množina všetkých možných výsledkov je tzv výsledný priestor . Udalosť je to súbor výsledkov, teda podmnožina priestoru výsledkov.

Príklad 4 Hádzanie šípok. Predpokladajme, že pri experimente „hádzanie šípok“ šípka zasiahne cieľ. Nájdite každú z nasledujúcich možností:

b) Priestor pre výsledky

Riešenie
a) Výsledky sú: trafiť čiernu (H), trafiť červenú (K) a biť bielu (B).

b) Existuje medzera výsledku (trafa čierna, červená, biela), ktorú možno jednoducho napísať ako (B, R, B).

Príklad 5 Hádzanie kockou. Kocka je kocka so šiestimi stranami, z ktorých každá má jednu až šesť bodiek.


Predpokladajme, že hádžeme kockou. Nájsť
a) Výsledky
b) Priestor pre výsledky

Riešenie
a) Výsledky: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Priestor výsledkov (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Pravdepodobnosť, že udalosť E nastane, označíme ako P(E). Napríklad „minca pristane na chvostoch“ môže byť označená H. Potom P(H) je pravdepodobnosť, že minca dopadne na chvosty. Keď majú všetky výsledky experimentu rovnakú pravdepodobnosť výskytu, hovorí sa, že sú rovnako pravdepodobné. Ak chcete vidieť rozdiel medzi udalosťami, ktoré sú rovnako pravdepodobné, a udalosťami, ktoré nie sú rovnako pravdepodobné, zvážte cieľ uvedený nižšie.

Pre cieľ A sú udalosti zásahu čiernej, červenej a bielej rovnako pravdepodobné, pretože čierne, červené a biele sektory sú rovnaké. Pre cieľ B však zóny s týmito farbami nie sú rovnaké, to znamená, že ich zasiahnutie nie je rovnako pravdepodobné.

Princíp P (teoretický)

Ak udalosť E môže nastať v m cestách z n možných ekvipravdepodobných výsledkov z výsledného priestoru S, potom teoretická pravdepodobnosť udalosť, P(E) je
P(E) = m/n.

Príklad 6 Aká je pravdepodobnosť hodu 3 hodom kockou?

Riešenie Na kocke je 6 rovnako pravdepodobných výsledkov a je len jedna možnosť hodiť číslo 3. Potom bude pravdepodobnosť P P(3) = 1/6.

Príklad 7 Aká je pravdepodobnosť hodu párnym číslom na kocke?

Riešenie Udalosťou je hádzanie párneho čísla. To sa môže stať 3 spôsobmi (ak hodíte 2, 4 alebo 6). Počet ekvipravdepodobných výsledkov je 6. Potom pravdepodobnosť P(párne) = 3/6 alebo 1/2.

Použijeme niekoľko príkladov súvisiacich so štandardným balíčkom 52 kariet. Takýto balíček pozostáva z kariet znázornených na obrázku nižšie.

Príklad 8 Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia esa z dobre zamiešaného balíčka kariet?

Riešenie Existuje 52 výsledkov (počet kariet v balíčku), sú rovnako pravdepodobné (ak je balíček dobre premiešaný) a existujú 4 spôsoby ťahania esa, takže podľa princípu P je pravdepodobnosť
P(ťahanie esa) = 4/52 alebo 1/13.

Príklad 9 Predpokladajme, že si vyberieme bez toho, aby sme hľadali jednu guľôčku z vrecka 3 červených guľôčok a 4 zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť výberu červenej gule?

Riešenie Existuje 7 rovnako pravdepodobných výsledkov na získanie akejkoľvek loptičky, a keďže počet spôsobov, ako vytiahnuť červenú guľu, je 3, dostaneme
P(výber červenej gule) = 3/7.

Nasledujúce tvrdenia sú výsledkom princípu P.

Pravdepodobnostné vlastnosti

a) Ak udalosť E nemôže nastať, potom P(E) = 0.
b) Ak udalosť E nevyhnutne nastane, potom P(E) = 1.
c) Pravdepodobnosť, že nastane udalosť E, je číslo medzi 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Napríklad pri hode mincou je pravdepodobnosť, že minca dopadne na jej okraj, nulová. Pravdepodobnosť, že minca je hlava alebo chvost, má pravdepodobnosť 1.

Príklad 10 Predpokladajme, že z balíčka s 52 kartami sú vytiahnuté 2 karty. Aká je pravdepodobnosť, že obaja sú piky?

Riešenie Počet spôsobov n ťahania 2 kariet z dobre zamiešaného 52-kartového balíčka je 52 C 2 . Keďže 13 z 52 kariet sú piky, počet m spôsobov ťahania 2 pikových kariet je 13 C 2 . potom
P(natiahnutie 2 vrcholov) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Príklad 11 Predpokladajme, že zo skupiny 6 mužov a 4 žien sú náhodne vybraní 3 ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy?

Riešenie Počet spôsobov výberu troch osôb zo skupiny 10 osôb 10 C 3 . Jeden muž môže byť vybraný 6 spôsobmi C 1 a 2 ženy môžu byť vybrané 4 spôsobmi C 2. Podľa základného princípu počítania je počet spôsobov výberu 1. muža a 2 žien 6 C 1 . 4C2. Potom je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Príklad 12 Hádzanie kockou. Aká je pravdepodobnosť, že na dvoch kockách hodíte celkovo 8?

Riešenie Na každej kocke je 6 možných výsledkov. Výsledky sa zdvojnásobia, to znamená, že existuje 6,6 alebo 36 možných spôsobov, ako môžu padnúť čísla na dvoch kockách. (Je lepšie, ak sú kocky odlišné, povedzme, že jedna je červená a druhá modrá - pomôže to vizualizovať výsledok.)

Dvojice čísel, ktorých súčet je 8, sú znázornené na obrázku nižšie. Je ich 5 možné spôsoby dostať súčet rovný 8, teda pravdepodobnosť je 5/36.

"Nehody nie sú náhodné" ... Znie to, ako povedal filozof, ale v skutočnosti ide o štúdium nehôd veľká veda matematiky. V matematike je náhoda teóriou pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže vám padať hlava alebo chvost. Pokiaľ je minca vo vzduchu, obe tieto možnosti sú možné. Teda pravdepodobnosť možné následky pomer je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka s 36 kartami, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však zopakujete určitú akciu mnohokrát je možné identifikovať určitý vzorec a na jeho základe predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetko vyššie uvedené, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v numerickom zmysle.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. dlhoštudovali hazardné hry a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christian Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny.

Nemenej dôležité sú diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove teorémy. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali dnešnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „event“. Udalosti sú troch typov:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa v žiadnom scenári nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzicka charakteristika minca, jej tvar, východisková poloha, sila hodu a pod.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými písmenami. s latinskými písmenami, s výnimkou P, ktorý má inú úlohu. Napríklad:

• A = "študenti prišli na prednášku."
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zaznamenávajú slovom.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako pravdepodobné. Stáva sa to vtedy, keď niekto zámerne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti sú tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = "študent prišiel na prednášku."
• B = "študent prišiel na prednášku."

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a vzhľad jednej z nich neovplyvňuje vzhľad druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje výskyt „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A, alebo B, alebo obe môžu nastať súčasne. V prípade, že sú nekompatibilné, posledná možnosť nie je možná, buď A alebo B vypadne.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžete uviesť niekoľko príkladov, aby ste si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Firma sa uchádza o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = "firma dostane prvú zmluvu."
• A 1 = "firma nedostane prvú zmluvu."
• B = "firma dostane druhú zmluvu."
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = "firma dostane tretiu zmluvu."
• C 1 = "firma nedostane tretiu zmluvu."

Pokúsme sa vyjadriť nasledujúce situácie pomocou akcií na udalostiach:

• K = "firma dostane všetky zmluvy."

V matematickej forme bude rovnica vyzerať takto: K = ABC.

• M = "firma nedostane ani jednu zákazku."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Úlohu komplikujeme: H = "firma dostane jednu zákazku." Keďže nie je známe, akú zákazku firma dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rozsah možných udalostí:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Iné možné udalosti sa tiež zaznamenávajú zodpovedajúcou metódou. Symbol υ v disciplíne označuje zväzok „ALEBO“. Ak vyššie uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, tak firma dostane buď tretiu zákazku, alebo druhú, alebo prvú. Podobne môžete napísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti ústredným pojmom. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobností. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) väčšinou používajú klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P (A) \u003d m / n.

A vlastne aj udalosť. Ak sa vyskytne opak A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A \u003d „vytiahnite kartu srdcovej farby“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vytiahne karta v tvare srdca, 0,25.

do vyššej matematiky

Teraz je trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú školské osnovy. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Vzorce a príklady ( vyššia matematika) je lepšie začať študovať v malom - od štatistickej (alebo frekvenčnej) definície pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti nastane udalosť, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na prognózovanie počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočítava štatistický. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = "vzhľad kvalitného produktu."

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa 3 ukázali ako nekvalitné. Odpočítame 3 od 100, dostaneme 97, to je množstvo kvalitného produktu.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho hlavným princípom je, že ak sa dá urobiť určitá voľba A m rôzne cesty, a výber B - n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 trasy. Koľko spôsobov sa dá dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4 = 20, to znamená, že existuje dvadsať rôznych spôsobov, ako sa dostať z bodu A do bodu C.

Urobme si úlohu ťažšou. Koľko spôsobov je možné hrať karty v solitaire? V balíčku 36 kariet je to východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu od počiatočného bodu a vynásobiť ju.

To znamená, že 36x35x34x33x32…x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je medzi sebou vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná sada prvkov sady sa nazýva rozloženie. Umiestnenia sa môžu opakovať, čo znamená, že jeden prvok možno použiť viackrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovaní bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov podľa m sú také zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, ktoré prvky to boli a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od objavenia sa alebo nevyskytnutia sa rovnakej udalosti v predchádzajúcich alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn(m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) sa pri každom pokuse nemení. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vzorca, ktorý je uvedený vyššie. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) budú uvedené nižšie.

Úloha 2: Návštevník predajne uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vošlo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník nakúpi?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetci šiesti, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = "návštevník uskutoční nákup."

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pretože v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny zákazník nenakúpi) na 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a p. Vzhľadom na p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C=1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je taký jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov budú uvedené nižšie.

Úloha 3 Odpoveď: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Vzhľad chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov tohto druhu sa nelíšia od iných úloh disciplíny, potrebné údaje dosadíme do vyššie uvedeného vzorca:

A = "náhodne vybraný diel bude chybný."

p = 0,0001 (podľa podmienky priradenia).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Nahradíme údaje vo vzorci a dostaneme:

R 100 000 (5) = 10 5 / 5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V podstate ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A môže byť určitý počet opakovaní v sérii pokusov. nájdené podľa Laplaceovho vzorca:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Pre lepšie zapamätanie si Laplaceovho vzorca (teória pravdepodobnosti), príklady úloh, ktoré vám pomôžu nižšie.

Najprv nájdeme X m , dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ (0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

P 800 (267) \u003d 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Pravdepodobnosť, že letáčik zasiahne presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia úloh, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Hlavný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

Р (В|А) - podmienená pravdepodobnosť udalosti В.

Takže záverečnou časťou krátkeho kurzu "Teória pravdepodobnosti" je Bayesov vzorec, príklady riešenia problémov sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je časť telefónov, ktoré sa vyrábajú v prvom závode, 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = "náhodne prevzatý telefón."

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P (B 1) \u003d 25 % / 100 % \u003d 0,25; P (B2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - takže sme našli pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov vo firmách:

P (A / B 1) \u003d 2 % / 100 % \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Teraz dosadíme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po tom všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. K obyčajnému človekuťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto s tým jackpot trafil viackrát.

V skutočnosti sú vzorce (1) a (2) krátkym záznamom podmienenej pravdepodobnosti na základe kontingenčnej tabuľky znakov. Vráťme sa k uvažovanému príkladu (obr. 1). Povedzme, že vieme, že istá rodina si kúpi širokouhlý televízor. Aká je pravdepodobnosť, že si táto rodina takýto televízor skutočne kúpi?

Ryža. 1. Správanie kupujúcich širokouhlých TV

V tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup bol uskutočnený | nákup bol plánovaný). Keďže vieme, že rodina plánuje kúpu, vzorový priestor netvorí všetkých 1 000 rodín, ale iba tie, ktoré si plánujú kúpiť širokouhlý televízor. Z 250 takýchto rodín si 200 skutočne kúpilo tento televízor. Preto pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala, možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

P (uskutočnený nákup | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánujú a zakúpia širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor = 200 / 250 = 0,8

Rovnaký výsledok je daný vzorcom (2):

kde je udalosť A je, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor, a event IN- že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca dostaneme:

rozhodovací strom

Na obr. 1 rodiny boli rozdelené do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a tí, ktorí nie, a tí, ktorí si takýto televízor kúpili, a tí, ktorí nie. Podobnú klasifikáciu je možné vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky, ktoré zodpovedajú rodinám, ktoré plánovali kúpu širokouhlého televízora, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto pobočiek je rozdelená na dve ďalšie vetvy, ktoré zodpovedajú rodinám, ktoré si kúpili a nekúpili širokouhlý televízor. Pravdepodobnosti napísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečné pravdepodobnosti udalostí A A A'. Pravdepodobnosti napísané na koncoch štyroch dodatočných vetiev sú podmienené pravdepodobnosti každej kombinácie udalostí A A IN. Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou nepodmienenou pravdepodobnosťou každej z nich.

Ryža. 2. Rozhodovací strom

Napríklad na výpočet pravdepodobnosti, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala urobiť, je potrebné určiť pravdepodobnosť udalosti nákup naplánovaný a dokončený a potom ho vydeľte pravdepodobnosťou udalosti plánovaná kúpa. Pohyb po rozhodovacom strome znázornenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú predchádzajúcej) odpoveď:

Štatistická nezávislosť

V príklade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor vzhľadom na to, že to plánovala urobiť, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že si náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. Z toho vyplýva veľmi dôležitý záver. A priori informácia, že rodina plánovala nákup, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu existujú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti na sebe nezávisia. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P(A|B) = P(A), Kde P(A|B)- pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že došlo k udalosti IN, P(A) je bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.

Upozorňujeme, že udalosti A A IN P(A|B) = P(A). Ak v kontingenčnej tabuľke prvkov, ktorá má veľkosť 2 × 2, je táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A IN, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom príklade udalosti plánovaná kúpa A nákup dokončený nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť inej.

Pozrime sa na príklad, ktorý ukazuje, ako testovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či sú s jeho kúpou spokojní (obr. 3). Zistite, či miera spokojnosti s nákupom a typ televízora súvisia.

Ryža. 3. Údaje o spokojnosti zákazníkov pre širokouhlé televízory

Podľa týchto údajov

V rovnakom čase,

P (spokojný zákazník) = 240 / 300 = 0,80

Pravdepodobnosť, že zákazník je spokojný s nákupom a že si rodina kúpila HDTV, je teda rovnaká a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, keďže spolu nesúvisia.

Pravidlo násobenia pravdepodobnosti

Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B. Rozlíšenie vzorca (1)

vzhľadom na spoločnú pravdepodobnosť P(A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B sa rovná pravdepodobnosti udalosti A za predpokladu, že udalosť IN IN:

(3) P(A a B) = P(A|B) * P(B)

Zoberme si napríklad 80 domácností, ktoré si zakúpili širokouhlý HDTV (obrázok 3). Z tabuľky vyplýva, že 64 rodín je s kúpou spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú z nich náhodne vybrané dve rodiny. Určte pravdepodobnosť, že obaja kupujúci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) dostaneme:

P(A a B) = P(A|B) * P(B)

kde je udalosť A je, že druhá rodina je spokojná s ich nákupom, a event IN- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že je prvá rodina spokojná s ich nákupom, je 64/80. Pravdepodobnosť, že je s nákupom spokojná aj druhá rodina, však závisí od odozvy prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez vrátenia), počet respondentov klesne na 79. Ak bola prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude spokojná aj druhá rodina je 63/ 79, keďže len 63 zostalo vo vzorke spokojných s nákupom rodín. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) dostaneme nasledujúcu odpoveď:

P(A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 63,8 %.

Predpokladajme, že po prieskume sa prvá rodina vráti do vzorky. Určte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s ich nákupom spokojné. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že obe rodiny budú spokojné s nákupom, rovnaká a rovná sa 64/80. Preto P(A a B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 64,0 %. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej. Teda nahradenie podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3). P(A|B) pravdepodobnosť P(A), získame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Ak udalosti A A IN sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B sa rovná pravdepodobnosti udalosti A vynásobené pravdepodobnosťou udalosti IN.

(4) P(A a B) = P(A)P(B)

Ak toto pravidlo platí pre udalosti A A IN, čo znamená, že sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:

1. Diania A A IN sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A|B) = P(A).
2. Diania A A B sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A a B) = P(A)P(B).

Ak je v kontingenčnej tabuľke prvkov, ktorá má veľkosť 2 × 2, jedna z týchto podmienok splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A B, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.

Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

kde udalosti B 1 , B 2 , … B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.

Aplikáciu tohto vzorca ilustrujeme na príklade z obr.1. Pomocou vzorca (5) dostaneme:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Kde P(A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P(B 1)- pravdepodobnosť, že sa nákup uskutočnil, P(B 2)- pravdepodobnosť, že sa nákup neuskutoční.

BAYESOVA TEOREM

Podmienená pravdepodobnosť udalosti berie do úvahy informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup možno použiť tak na spresnenie pravdepodobnosti, berúc do úvahy novo prijaté informácie, ako aj na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný efekt je dôsledkom nejakého konkrétny dôvod. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.

Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť skúma trh pre nový model televízora. V minulosti bolo 40 % televízorov vytvorených spoločnosťou úspešných a 60 % modelov nebolo uznaných. Pred oznámením vydania nového modelu si marketéri starostlivo preštudujú trh a zachytia dopyt. V minulosti bola úspešnosť 80 % modelov, ktoré získali uznanie, predpovedaná vopred, zatiaľ čo 30 % priaznivých predpovedí sa ukázalo ako mylných. Pre nový model dalo marketingové oddelenie priaznivú predpoveď. Aká je pravdepodobnosť, že bude dopyt po novom modeli televízora?

Bayesovu vetu možno odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti Р(В|А) použijeme vzorec (2):

a namiesto P(A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):

P(A a B) = P(A|B) * P(B)

Nahradením vzorca (5) namiesto P(A) dostaneme Bayesovu vetu:

kde deje B 1 , B 2 , ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.

Uveďme nasledujúci zápis: udalosť S - Televízia je žiadaná, diania' - TV nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F' - zlá prognóza. Povedzme, že P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Aplikovaním Bayesovej vety dostaneme:

Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízora je daná priaznivá prognóza rovná sa 0,64. Pravdepodobnosť nedostatku dopytu pri priaznivej predikcii je teda 1–0,64=0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. 4.

Ryža. 4. a) Bayesovské výpočty na odhad pravdepodobnosti dopytu po TV; (b) Rozhodovací strom na skúmanie dopytu po novom modeli TV

Zvážte príklad použitia Bayesovej vety lekárskej diagnostiky. Pravdepodobnosť, že človek trpí určitou chorobou, je 0,03. Lekársky test vám umožňuje skontrolovať, či je to tak. Ak je človek naozaj chorý, pravdepodobnosť presná diagnóza(tvrdenie, že človek je chorý, keď je naozaj chorý) sa rovná 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (uvádza, že človek je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test dal pozitívny výsledok. Aká je pravdepodobnosť, že je človek skutočne chorý? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?

Uveďme nasledujúci zápis: udalosť D - človek je chorý, udalosť D' - človek je zdravý, udalosť T - pozitívna diagnóza, udalosť T' - diagnoza je negativna. Z podmienok úlohy vyplýva, že Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Použitím vzorca (6) dostaneme:

Pravdepodobnosť, že osoba s pozitívnou diagnózou je skutočne chorá, je 0,582 (pozri aj obr. 5). Všimnite si, že menovateľ Bayesovho vzorca sa rovná pravdepodobnosti pozitívnej diagnózy, t.j. 0,0464.