Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Dozvedieť sa všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje znalosti Každodenný život prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, poznanie stupňov vás priblíži úspešné doručenie OGE alebo USE a vstúpte na univerzitu svojich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov vidíte nezmysel, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz vysvetlím všetko v ľudskom jazyku veľmi jednoducho jednoduché príklady. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou možno napísať aj iným spôsobom: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet fliaš koly a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je. A riešte takéto hádanky v mysli - rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén veľký meter krát meter. Bazén je vo vašom dvore. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Škubaním prsta jednoducho spočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po metri. Ak sú vaše dlaždice meter na meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlaždicu? Dlaždica bude skôr cm na cm A potom vás bude trápiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keďže sa rovnaké číslo násobí, môžeme použiť techniku umocňovania. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb Pre skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi alebo ... ak si to všimnete Šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete štvorec osem. Získajte bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v Metre kubické. Nečakane, však?) Nakreslite bazén: dno veľké jeden meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek meter po meter celkovo vnikne do vášho bazéna.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak to príliš zjednodušujú. Všetko zredukované na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí ... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:

Zostáva len zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli flákači a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión ďalší milión. To znamená, že každý z vašich miliónov sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a .. hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto počíta rýchlejšie, dostane tieto milióny ... Oplatí sa zapamätať si stupne čísel, čo myslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máte milión. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión o dva viac. Je to skvelé, že? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok ďalším ... Už je to nuda, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Štvrtá mocnina je teda milión. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby nedošlo k zámene

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No a v všeobecný pohľad na zovšeobecnenie a lepšie zapamätanie ... Stupeň so základom "" a exponentom "" sa číta ako "do stupňa" a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní položiek: jeden, dva, tri ... Keď počítame položky, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Nehovoríme ani „jedna tretina“ alebo „nula päť desatín“. Nie sú to prirodzené čísla. Aké sú podľa vás tieto čísla?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - vtedy nie je nič. A čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú dostatok prirodzených čísel na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, však?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečné desiatkový. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa, čo je A ?

A-priorita:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo tým istým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je inverznou hodnotou rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Očividne toto špeciálny prípad možno predĺžiť: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na tréning

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- toto je akoby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec na skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desiatkové alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

— základ titulu;
- exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musí byť na rovnakom základe. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Je možné formulovať takéto jednoduché pravidlá:

dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo, postavený v r zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáme, je jasné, že, čo znamená, že základ menej ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť tým, že zmeníme len jedno pre nás nevýhodné mínus!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným negatívnym ukazovateľom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Odpovede:

Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula sa rovná akejkoľvek moci.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Stupeň so záporným exponentom. Rozdelenie právomocí s rovnakým základom. 4. Znížte exponenty 2a4/5a3 a 2/a4 a uveďte ich do spoločného menovateľa. Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Táto vlastnosť sa rozširuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. Preto am−an>0 a am>an, čo sa malo dokázať. Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi.

Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí. To znamená, že ak chcete násobiť stupne s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený. Výpočet hodnoty výkonu sa nazýva akcia umocnenia. To znamená, že pri výpočte hodnoty výrazu, ktorý neobsahuje zátvorky, vykonajte najprv akciu tretieho kroku, potom druhého (násobenie a delenie) a nakoniec prvého (sčítanie a odčítanie).

Po určení stupňa čísla je logické hovoriť o vlastnostiach stupňa. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu uvedieme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov. Hneď poznamenávame, že všetky napísané rovnosti sú za špecifikovaných podmienok totožné a ich pravú a ľavú časť je možné zameniť.

Uveďme príklad, ktorý potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa. Pred poskytnutím dôkazu o tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. Hlavná vlastnosť zlomku nám umožňuje zapísať rovnosť am−n·an=a(m−n)+n=am.

Prechod na nový základ

To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Napríklad rovnosť platí pre ľubovoľné prirodzené čísla p, q, r a s. Pre väčšiu názornosť uveďme príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n s a=0 je stupeň an nula. Skutočne, 0n=0·0·...·0=0. Napríklad 03=0 a 0762=0. Prejdime k negatívnym základom. Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2·m, kde m je prirodzené číslo.

Obraciame sa na dôkaz tejto vlastnosti. Dokážme, že pre m>n a 0 Rovnakým princípom je možné dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným ako rovnosti. Podmienky p 0 v tomto prípade budú ekvivalentné podmienkam m 0, resp. V tomto prípade bude podmienka p>q zodpovedať podmienke m1>m2, ktorá vyplýva z porovnávacieho pravidla obyčajné zlomky s rovnakými menovateľmi.

Operácie s koreňmi. Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali iba o exponentoch s prirodzenými exponentmi, ale akcie s exponentmi a koreňmi môžu viesť aj k záporným, nulovým a zlomkovým exponentom. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu. Ak chceme, aby vzorec a m: a n=a m - n platil pre m = n, musíme definovať nultý stupeň. Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi.

Odstránenie exponentu z logaritmu

Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú! Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Ako sú pohodlné, je možné vyhodnotiť až pri rozhodovaní logaritmické rovnice a nerovnosti. Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy. V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze.

Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady.

Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu. Tak sa tomu hovorí: základné logaritmická identita. Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením. Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej. 1 = 0 je logaritmická nula. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna - logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície. To sú všetky vlastnosti. Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho - a vyriešte problémy.

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

2.a-4 je a-2 prvý čitateľ. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné. Toto je akcia tretej fázy. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku am·an=am+n sa pri zjednodušovaní výrazov často používa v tvare am+n=am·an. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0n=0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou sa deliť nedá. Z výslednej rovnosti am−n·an=am a zo súvislosti medzi násobením a delením vyplýva, že am−n je podiel am a an. To dokazuje vlastnosť čiastkových právomocí s rovnaké dôvody.

Podobne, ak q=0, potom (ap)0=1 a ap 0=a0=1, odkiaľ (ap)0=ap 0. Vo viac ťažké príklady môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať nad mocninami s rôzne dôvody A rôzne ukazovatele. Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno prepísať ako resp. A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam, resp.

Ak potrebujete zvýšiť konkrétne číslo na mocninu, môžete použiť . Teraz sa na to pozrieme bližšie vlastnosti stupňov.

Exponenciálne čísla otvárajú veľké možnosti, umožňujú nám previesť násobenie na sčítanie a sčítanie je oveľa jednoduchšie ako násobenie.

Napríklad musíme vynásobiť 16 číslom 64. Súčin vynásobenia týchto dvoch čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. Takže 16 krát 64 = 4x4x4x4x4, čo je tiež 1024.

Číslo 16 môže byť reprezentované aj ako 2x2x2x2 a 64 ako 2x2x2x2x2x2, a ak vynásobíme, dostaneme opäť 1024.

Teraz použime pravidlo. 16 = 4 2 alebo 2 4, 64 = 4 3 alebo 2 6, zatiaľ čo 1024 = 6 4 = 4 5 alebo 2 10.

Preto je možné náš problém zapísať aj inak: 4 2 x 4 3 = 4 5 alebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a zakaždým dostaneme 1024.

Môžeme vyriešiť množstvo podobných príkladov a uvidíme, že násobenie čísel s mocninami sa zníži na sčítanie exponentov, alebo exponent, samozrejme, za predpokladu, že základy faktorov sú rovnaké.

Bez násobenia teda môžeme okamžite povedať, že 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Toto pravidlo platí aj pri delení čísel mocninami, ale v tomto prípade napr exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu dividendy. Teda 2 5:2 3 = 2 2 , čo sa v bežných číslach rovná 32:8=4, teda 2 2 . Poďme si to zhrnúť:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kde m a n sú celé čísla.

Na prvý pohľad by sa to mohlo zdať násobenie a delenie čísel s mocninami nie je príliš pohodlné, pretože najprv musíte číslo znázorniť v exponenciálnom tvare. Nie je ťažké znázorniť čísla 8 a 16 v tejto forme, teda 2 3 a 2 4, ale ako to urobiť s číslami 7 a 17? Alebo čo robiť v tých prípadoch, keď číslo môže byť reprezentované v exponenciálnom tvare, ale základy exponenciálnych vyjadrení čísel sú veľmi odlišné. Napríklad 8×9 je 2 3 x 3 2, v takom prípade nemôžeme sčítať exponenty. Ani 2 5, ani 3 5 nie je odpoveď, ani odpoveď medzi nimi.

Oplatí sa potom vôbec trápiť touto metódou? Určite to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody najmä pri zložitých a časovo náročných výpočtoch.

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo Jednotnej štátnej skúšky a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi, alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete použiť osem. Získajte bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno veľké meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek s rozmermi meter krát meter vstúpi do vášho bazén.

Zostáva len zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Príklad zo skutočného života #4

Príklad zo skutočného života číslo 5

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby nedošlo k zámene

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "v stupni" a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa, čo je A ?

A-priorita:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je inverznou hodnotou rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
je celé číslo;