Teorija verjetnosti je sprva le zbirka informacij in empiričnih opažanj o igri s kockami postala temeljita znanost. Prva, ki sta ji dala matematični okvir, sta bila Fermat in Pascal.

Od razmišljanja o večnem do teorije verjetnosti

Dva posameznika, ki jima teorija verjetnosti dolguje veliko svojih temeljnih formul, Blaise Pascal in Thomas Bayes, sta znana kot globoko verna človeka, slednji je bil prezbiterijanski minister. Očitno je želja teh dveh znanstvenikov, da bi dokazali napačnost mnenja o tem, da bogastvo dajalo srečo svojim ljubljencem, spodbudilo raziskave na tem področju. Navsezadnje je pravzaprav vsaka igra na srečo s svojimi dobitki in izgubami le simfonija matematičnih principov.

Zahvaljujoč strasti Chevalierja de Mereja, ki je bil enako kockar in človek, ki ni bil ravnodušen do znanosti, je bil Pascal prisiljen najti način za izračun verjetnosti. De Mereja je zanimalo naslednje vprašanje: "Kolikokrat morate vreči dve kocki v paru, da bo verjetnost, da dobite 12 točk, večja od 50%?" Drugo vprašanje, ki je gospoda zelo zanimalo: "Kako razdeliti stavo med udeležence nedokončane igre?" Seveda je Pascal uspešno odgovoril na obe vprašanji de Mereja, ki je postal nehote začetnik razvoja teorije verjetnosti. Zanimivo je, da je oseba de Mere ostala znana na tem območju in ne v literaturi.

Prej še noben matematik ni poskušal izračunati verjetnosti dogodkov, saj je veljalo, da je to le ugibna rešitev. Blaise Pascal je podal prvo definicijo verjetnosti dogodka in pokazal, da gre za določeno številko, ki jo je mogoče matematično utemeljiti. Teorija verjetnosti je postala osnova za statistiko in se pogosto uporablja v sodobni znanosti.

Kaj je naključnost

Glede na test, ki ga je mogoče ponoviti neskončno število krat, potem lahko definiramo naključni dogodek. To je eden od verjetnih rezultatov poskusa.

Izkušnja je izvajanje določenih dejanj v stalnih pogojih.

Za delo z rezultati eksperimenta so dogodki običajno označeni s črkami A, B, C, D, E ...

Verjetnost naključnega dogodka

Za začetek matematičnega dela verjetnosti je treba definirati vse njene komponente.

Verjetnost dogodka je številčna mera možnosti, da se nek dogodek (A ali B) zgodi kot posledica izkušnje. Verjetnost je označena kot P(A) ali P(B).

V teoriji verjetnosti razlikujejo:

• zanesljiv dogodek se bo zagotovo zgodil kot rezultat izkušnje P(Ω) = 1;
• nemogoče dogodek se nikoli ne more zgoditi P(Ø) = 0;
• naključen dogodek leži med zanesljivim in nemogočim, to pomeni, da je verjetnost njegovega pojava možna, ni pa zagotovljena (verjetnost naključnega dogodka je vedno v območju 0≤Р(А)≤ 1).

Odnosi med dogodki

Upošteva se tako ena kot vsota dogodkov A+B, ko se dogodek šteje, ko je izpolnjena vsaj ena od komponent, A ali B, ali obe, A in B.

Med seboj so dogodki lahko:

• Enako možno.
• Združljiv.
• Nezdružljivo.
• Nasprotje (medsebojno izključujoče).
• Odvisni.

Če se dva dogodka lahko zgodita z enako verjetnostjo, potem enako možno.

Če pojav dogodka A ne zmanjša na nič verjetnosti nastopa dogodka B, potem združljiv.

Če se dogodka A in B nikoli ne pojavita hkrati v isti izkušnji, se imenujeta nezdružljivo. met kovanca - dober primer: pojav glav je samodejno nepojav glav.

Verjetnost za vsoto takih nezdružljivih dogodkov je sestavljena iz vsote verjetnosti vsakega od dogodkov:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Če pojav enega dogodka onemogoči pojav drugega, se imenujejo nasprotni. Potem je eden od njih označen kot A, drugi pa - Ā (beri kot "ne A"). Pojav dogodka A pomeni, da se Ā ni zgodil. Ta dva dogodka tvorita popolno skupino z vsoto verjetnosti enako 1.

Odvisni dogodki medsebojno vplivajo in zmanjšujejo ali povečujejo verjetnost drug drugega.

Odnosi med dogodki. Primeri

Z uporabo primerov je veliko lažje razumeti načela teorije verjetnosti in kombinacij dogodkov.

Eksperiment, ki bo izveden, je sestavljen iz jemanja žog iz škatle, rezultat vsakega poskusa pa je elementarni rezultat.

Dogodek je eden od možni rezultati izkušnje - rdeča žoga, modra žoga, žoga s številko šest itd.

Test št. 1. V igri je 6 žog, od katerih so tri modre z lihimi številkami, ostale tri pa rdeče s sodimi številkami.

Test št. 2. Vključenih je 6 žog modre barve s številkami od ena do šest.

Na podlagi tega primera lahko poimenujemo kombinacije:

• Zanesljiv dogodek. V španščini št. 2 dogodek »dobi modro žogo« je zanesljiv, saj je verjetnost njegovega pojava enaka 1, saj so vse kroglice modre in ne more biti zgrešenega. Medtem ko je dogodek "dobi žogo s številko 1" naključen.
• Nemogoč dogodek. V španščini št. 1 z modrimi in rdečimi žogicami je dogodek »dobiti vijolično žogico« nemogoč, saj je verjetnost njegovega pojava enaka 0.
• Enako možni dogodki. V španščini št. 1 sta enako možna dogodka »dobiti žogico s številko 2« in »dobiti žogico s številko 3« ter dogodka »dobiti žogico s sodo številko« in »dobiti žogico s številko 2«. ” imajo različne verjetnosti.
• Združljivi dogodki. Dobiti šestico dvakrat zaporedoma med metanjem kocke je združljiv dogodek.
• Nezdružljivi dogodki. V isti španščini št. 1, dogodka »dobi rdečo žogico« in »dobi žogico z liho številko« ni mogoče združiti v isto izkušnjo.
• Nasprotni dogodki. večina svetel zgled To je met kovanca, kjer je črpanje glav enakovredno nevlečenju repov, vsota njihovih verjetnosti pa je vedno 1 (polna skupina).
• Odvisni dogodki. Torej v španščini Št. 1, lahko si postavite cilj, da dvakrat zapored izvlečete rdečo kroglico. Ne glede na to, ali je prvič pridobljen ali ne, vpliva na verjetnost, da bo ponovno pridobljen.

Vidimo, da prvi dogodek pomembno vpliva na verjetnost drugega (40% in 60%).

Formula verjetnosti dogodka

Prehod od vedeževanja do natančnih podatkov se zgodi s prevodom teme na matematično ravnino. To pomeni, da je mogoče presoje o naključnem dogodku, kot je "visoka verjetnost" ali "minimalna verjetnost", prevesti v specifične numerične podatke. Tako gradivo je že dovoljeno vrednotiti, primerjati in vnašati v zahtevnejše izračune.

Z računskega vidika je določanje verjetnosti dogodka razmerje med številom elementarnih pozitivnih izidov in številom vseh možnih izidov izkušenj glede določenega dogodka. Verjetnost je označena s P(A), kjer P pomeni besedo "probabilite", ki je iz francoščine prevedena kot "verjetnost".

Torej, formula za verjetnost dogodka je:

Kjer je m število ugodnih izidov za dogodek A, je n vsota vseh možnih izidov za to izkušnjo. V tem primeru je verjetnost dogodka vedno med 0 in 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Izračun verjetnosti dogodka. Primer

Vzemimo španščino. 1 s kroglicami, ki smo jih opisali prej: 3 modre kroglice s številkami 1/3/5 in 3 rdeče kroglice s številkami 2/4/6.

Na podlagi tega preizkusa je mogoče obravnavati več različnih težav:

• A - rdeča žoga, ki pada ven. Obstajajo 3 rdeče kroglice, skupaj pa je na voljo 6 možnosti. To je najpreprostejši primer, pri katerem je verjetnost dogodka enaka P(A)=3/6=0,5.
• B - kotaljenje sodega števila. Obstajajo 3 soda števila (2,4,6) in skupaj Možnih številčnih možnosti je 6. Verjetnost tega dogodka je P(B)=3/6=0,5.
• C - pojav števila, večjega od 2. Obstajajo 4 takšne možnosti (3,4,5,6) od skupnega števila možnih izidov 6. Verjetnost dogodka C je enaka P(C)=4 /6=0,67.

Kot je razvidno iz izračunov, ima dogodek C večjo verjetnost, saj je število verjetnih pozitivnih izidov večje kot pri A in B.

Nezdružljivi dogodki

Takšni dogodki se ne morejo pojaviti hkrati v isti izkušnji. Kot v španščini št. 1, nemogoče je dobiti modro in rdečo žogo hkrati. To pomeni, da lahko dobite modro ali rdečo žogo. Na enak način se v kocki ne moreta pojaviti sodo in liho število hkrati.

Verjetnost dveh dogodkov se obravnava kot verjetnost njune vsote ali produkta. Vsota takšnih dogodkov A+B se šteje za dogodek, ki je sestavljen iz pojava dogodka A ali B, njun produkt AB pa je pojav obeh. Na primer, pojav dveh šestic hkrati na straneh dveh kock v enem metu.

Seštevek več dogodkov je dogodek, ki predpostavlja nastanek, po vsaj, En od njih. Produkcija več dogodkov je skupni dogodek vseh.

V teoriji verjetnosti uporaba veznika "in" praviloma označuje vsoto, veznik "ali" pa množenje. Formule s primeri vam bodo pomagale razumeti logiko seštevanja in množenja v teoriji verjetnosti.

Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov

Če upoštevamo verjetnost nezdružljivih dogodkov, potem je verjetnost vsote dogodkov enaka seštevku njihovih verjetnosti:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primer: izračunajmo verjetnost, da v španščini. 1 z modro in rdečo kroglico se bo pojavilo število med 1 in 4. Računali ne bomo v eni akciji, temveč z vsoto verjetnosti elementarnih komponent. Torej, v takem poskusu je samo 6 žog ali 6 vseh možnih izidov. Števili, ki izpolnjujeta pogoj, sta 2 in 3. Verjetnost, da dobimo število 2, je 1/6, verjetnost, da dobimo število 3, je prav tako 1/6. Verjetnost, da dobite številko med 1 in 4, je:

Verjetnost vsote nekompatibilnih dogodkov celotne skupine je 1.

Če torej pri poskusu s kocko seštejemo verjetnosti vseh števil, ki se pojavijo, bo rezultat ena.

To velja tudi za nasprotne dogodke, na primer pri poskusu s kovancem, kjer je ena stran dogodek A, druga pa nasprotni dogodekĀ, kot je znano,

P(A) + P(Ā) = 1

Verjetnost pojava nezdružljivih dogodkov

Množenje verjetnosti se uporablja, ko upoštevamo pojav dveh ali več nezdružljivih dogodkov v enem opazovanju. Verjetnost, da se dogodka A in B v njej pojavita hkrati, je enaka zmnožku njunih verjetnosti oziroma:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Denimo verjetnost, da v španščini št. 1, kot rezultat dveh poskusov, se bo dvakrat pojavila modra krogla, enaka

To pomeni, da je verjetnost dogodka, ko se zaradi dveh poskusov izvlečenja žogic izvlečejo samo modre žogice, 25 %. Zelo enostavno je narediti praktične poskuse s to težavo in ugotoviti, ali je temu res tako.

Skupni dogodki

Dogodki se štejejo za skupne, če lahko pojav enega od njih sovpada z nastopom drugega. Kljub temu, da sta skupna, se upošteva verjetnost neodvisnih dogodkov. Na primer, met dveh kock lahko da rezultat, ko se na obeh pojavi številka 6. Čeprav sta dogodka sovpadala in se pojavila istočasno, sta neodvisna drug od drugega – izpade lahko samo ena šestica, druga kocka nima vpliv na to.

Verjetnost skupnih dogodkov se obravnava kot verjetnost njihove vsote.

Verjetnost vsote skupnih dogodkov. Primer

Verjetnost vsote dogodkov A in B, ki sta medsebojno povezana, je enaka vsoti verjetnosti dogodka minus verjetnost njunega pojava (to je njunega skupnega nastopa):

R sklep (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Predpostavimo, da je verjetnost zadetka tarče z enim strelom 0,4. Potem dogodek A zadene tarčo v prvem poskusu, B - v drugem. Ti dogodki so skupni, saj je možno, da lahko zadenete tarčo tako s prvim kot z drugim strelom. Toda dogodki niso odvisni. Kolikšna je verjetnost dogodka, da bi tarčo zadeli z dvema streloma (vsaj z enim)? Po formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na vprašanje je: "Verjetnost zadetka tarče z dvema streloma je 64%."

To formulo za verjetnost dogodka lahko uporabimo tudi za nekompatibilne dogodke, kjer je verjetnost skupnega pojava dogodka P(AB) = 0. To pomeni, da lahko verjetnost vsote nekompatibilnih dogodkov štejemo za poseben primer predlagane formule.

Geometrija verjetnosti za jasnost

Zanimivo je, da lahko verjetnost vsote skupnih dogodkov predstavimo kot dve področji A in B, ki se med seboj sekata. Kot je razvidno iz slike, je območje njihove zveze enako celotna površina minus območje njihovega presečišča. Ta geometrijska razlaga naredi na videz nelogično formulo bolj razumljivo. Upoštevajte to geometrijske rešitve- ni neobičajno v teoriji verjetnosti.

Določanje verjetnosti vsote številnih (več kot dveh) skupnih dogodkov je precej okorno. Če ga želite izračunati, morate uporabiti formule, ki so na voljo za te primere.

Odvisni dogodki

Dogodki se imenujejo odvisni, če pojav enega (A) od njih vpliva na verjetnost pojava drugega (B). Poleg tega je upoštevan vpliv tako nastopa dogodka A kot njegovega nepostojanja. Čeprav se dogodki po definiciji imenujejo odvisni, je samo eden od njih odvisen (B). Navadno verjetnost smo označili kot P(B) ali verjetnost neodvisnih dogodkov. Pri odvisnih dogodkih je uveden nov koncept - pogojna verjetnost P A (B), ki je verjetnost odvisnega dogodka B, odvisno od pojava dogodka A (hipoteza), od katerega je odvisen.

Toda dogodek A je tudi naključen, zato ima tudi verjetnost, ki jo je treba in jo je mogoče upoštevati pri izvedenih izračunih. Naslednji primer bo pokazal, kako delati z odvisnimi dogodki in hipotezo.

Primer izračuna verjetnosti odvisnih dogodkov

Dober primer za izračun odvisnih dogodkov bi bil standardni komplet kart.

Na primeru kompleta 36 kart si poglejmo odvisne dogodke. Določiti moramo verjetnost, da bo druga izvlečena karta iz kompleta karo, če je prva izvlečena karta:

1. Bubnovaja.
2. Drugačna barva.

Očitno je verjetnost drugega dogodka B odvisna od prvega A. Torej, če je prva možnost resnična, da je v kompletu 1 karta (35) in 1 karo (8) manj, je verjetnost dogodka B:

R A (B) = 8/35 = 0,23

Če je druga možnost resnična, potem ima krov 35 kart in je še vedno ohranjeno celotno število karo (9), potem je verjetnost naslednjega dogodka B:

R A (B) =9/35=0,26.

Vidimo lahko, da če je dogodek A pogojen s tem, da je prva karta diamant, se verjetnost dogodka B zmanjša in obratno.

Množenje odvisnih dogodkov

Na podlagi prejšnjega poglavja sprejmemo prvi dogodek (A) kot dejstvo, ki pa je v bistvu naključne narave. Verjetnost tega dogodka, namreč izvlečenja diamanta iz kompleta kart, je enaka:

P(A) = 9/36=1/4

Ker teorija ne obstaja sama po sebi, temveč naj bi služila praktičnim namenom, je pošteno omeniti, da je najpogosteje potrebna verjetnost ustvarjanja odvisnih dogodkov.

Po izreku o produktu verjetnosti odvisnih dogodkov je verjetnost nastopa skupaj odvisnih dogodkov A in B enaka verjetnosti enega dogodka A, pomnoženi s pogojno verjetnostjo dogodka B (odvisnega od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Potem je v primeru kompleta verjetnost, da izvlečete dve karti z barvo karo:

9/36*8/35=0,0571 ali 5,7 %

In verjetnost, da najprej ne izvlečete diamantov in nato diamantov, je enaka:

27/36*9/35=0,19 ali 19 %

Vidimo lahko, da je verjetnost, da se zgodi dogodek B, večja, če je prva izvlečena karta v barvi, ki ni karo. Ta rezultat je povsem logičen in razumljiv.

Skupna verjetnost dogodka

Ko problem s pogojnimi verjetnostmi postane večplasten, ga ni mogoče izračunati z običajnimi metodami. Kadar obstajata več kot dve hipotezi, in sicer A1, A2,…, A n, .. tvori celotno skupino dogodkov, če:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Torej je formula za skupno verjetnost za dogodek B s celotno skupino naključnih dogodkov A1, A2,..., A n enaka:

Pogled v prihodnost

Verjetnost naključnega dogodka je izjemno potrebna na mnogih področjih znanosti: ekonometriji, statistiki, fiziki itd. Ker nekaterih procesov ni mogoče deterministično opisati, ker so sami po sebi verjetnostne narave, so potrebne posebne metode dela. Teorija verjetnosti dogodka se lahko uporablja na katerem koli tehnološkem področju kot način za ugotavljanje možnosti napake ali okvare.

Lahko rečemo, da s prepoznavanjem verjetnosti na nek način naredimo teoretični korak v prihodnost, ki jo pogledamo skozi prizmo formul.

Malo verjetno je, da veliko ljudi razmišlja o tem, ali je mogoče izračunati dogodke, ki so bolj ali manj naključni. Povedano preprosto s preprostimi besedami, ali je res mogoče vedeti, katera stran kocke se bo pojavila naslednjič? To vprašanje sta si zastavila dva velika znanstvenika, ki sta postavila temelje znanosti, kot je teorija verjetnosti, v kateri se verjetnost dogodka preučuje precej obširno.

Izvor

Če poskusite tak koncept definirati kot teorijo verjetnosti, boste dobili naslednje: to je ena od vej matematike, ki preučuje stalnost naključnih dogodkov. Seveda ta koncept v resnici ne razkriva celotnega bistva, zato ga je treba podrobneje obravnavati.

Rad bi začel z ustvarjalci teorije. Kot že omenjeno, sta bila dva in sta bila ena prvih, ki sta poskušala izračunati izid tega ali onega dogodka s pomočjo formul in matematičnih izračunov. Na splošno so se začetki te vede pojavili v srednjem veku. Takrat so različni misleci in znanstveniki poskušali analizirati igre na srečo, kot so ruleta, craps ipd., ter tako ugotoviti vzorec in odstotek izpada določene številke. Temelje so v sedemnajstem stoletju postavili zgoraj omenjeni znanstveniki.

Njihovih del sprva ni bilo mogoče šteti za velike dosežke na tem področju, saj so bila vse, kar so počeli, le empirična dejstva, poskusi pa so bili izvedeni vizualno, brez uporabe formul. Sčasoma je bilo mogoče doseči odlične rezultate, ki so se pojavili kot posledica opazovanja metanja kock. Prav to orodje je pomagalo izpeljati prve razumljive formule.

Enako misleči ljudje

Nemogoče je ne omeniti takšne osebe, kot je Christiaan Huygens, v procesu preučevanja teme, imenovane "teorija verjetnosti" (verjetnost dogodka je zajeta ravno v tej znanosti). Ta oseba je zelo zanimiva. Tako kot zgoraj predstavljeni znanstveniki je poskušal izpeljati vzorec naključnih dogodkov v obliki matematičnih formul. Omeniti velja, da tega ni storil skupaj s Pascalom in Fermatom, torej se vsa njegova dela niso križala s temi umi. Huygens sklepal

Zanimivo dejstvo je, da je njegovo delo izšlo veliko pred rezultati dela odkriteljev, bolje rečeno, dvajset let prej. Med identificiranimi koncepti so najbolj znani:

• koncept verjetnosti kot vrednosti naključja;
• matematično pričakovanje za diskretne primere;
• izreki množenja in seštevanja verjetnosti.

Nemogoče se je tudi ne spomniti, kdo je prav tako pomembno prispeval k preučevanju problematike. Z izvajanjem lastnih testov, neodvisno od nikogar, je lahko zagotovil dokaz zakona velike številke. Po drugi strani sta znanstvenika Poisson in Laplace, ki sta delala na začetku devetnajstega stoletja, uspela dokazati prvotne izreke. Od tega trenutka se je teorija verjetnosti začela uporabljati za analizo napak v opazovanjih. Ruski znanstveniki oziroma Markov, Čebišev in Djapunov te znanosti niso mogli prezreti. Na podlagi dela velikih genijev so ta predmet uveljavili kot vejo matematike. Te številke so delovale že ob koncu devetnajstega stoletja in zahvaljujoč njihovemu prispevku so bili dokazani naslednji pojavi:

• zakon velikih števil;
• Markovljeva teorija verige;
• centralni mejni izrek.

Torej, z zgodovino rojstva znanosti in z glavnimi ljudmi, ki so nanjo vplivali, je vse bolj ali manj jasno. Zdaj je prišel čas, da se razjasnijo vsa dejstva.

Osnovni pojmi

Preden se dotaknemo zakonov in izrekov, je vredno preučiti osnovne koncepte teorije verjetnosti. Prireditev ima pri tem vodilno vlogo. Ta tema je precej obsežna, vendar brez nje ne bo mogoče razumeti vsega drugega.

Dogodek v teoriji verjetnosti je kateri koli niz rezultatov poskusa. Koncepti ta pojav jih je kar nekaj. Tako je znanstvenik Lotman, ki dela na tem področju, dejal, da v tem primeru govorimo o tem, kaj se je "zgodilo, čeprav se morda ne bi zgodilo."

Naključni dogodki (teorija verjetnosti jim posveča posebno pozornost) je koncept, ki pomeni absolutno vsak pojav, ki ima možnost, da se zgodi. Ali pa nasprotno, ta scenarij se morda ne bo zgodil, če bo izpolnjenih veliko pogojev. Prav tako je vredno vedeti, da so naključni dogodki tisti, ki zajemajo celoten obseg pojavov, ki so se zgodili. Teorija verjetnosti kaže, da se lahko vsi pogoji nenehno ponavljajo. Njihovo vedenje se imenuje "izkušnja" ali "test".

Zanesljiv dogodek je pojav, za katerega obstaja stoodstotna verjetnost, da se bo zgodil v danem testu. V skladu s tem je nemogoč dogodek tisti, ki se ne bo zgodil.

Kombinacija para dejanj (pogojno primera A in primera B) je pojav, ki se zgodi sočasno. Označeni so kot AB.

Vsota parov dogodkov A in B je C, z drugimi besedami, če se zgodi vsaj eden od njih (A ali B), dobimo C. Formula za opisani pojav je zapisana na naslednji način: C = A + B.

Neskladni dogodki v teoriji verjetnosti pomenijo, da se dva primera med seboj izključujeta. V nobenem primeru se ne morejo zgoditi hkrati. Skupni dogodki so v teoriji verjetnosti njihov antipod. Tukaj je mišljeno, da če se je zgodil A, to na noben način ne prepreči B.

Nasprotne dogodke (teorija verjetnosti jih obravnava zelo podrobno) je enostavno razumeti. Najboljši način za njihovo razumevanje je primerjava. So skoraj enaki nekompatibilnim dogodkom v teoriji verjetnosti. Toda njihova razlika je v tem, da se eden od mnogih pojavov mora zgoditi v vsakem primeru.

Enako verjetni dogodki so tista dejanja, katerih ponavljanje je enako. Da bi bilo bolj jasno, si lahko predstavljate met kovanca: izguba ene njegove strani je enako verjetno, da bo padla iz druge.

Ugoden dogodek je lažje obravnavati s primerom. Recimo, da obstajata epizoda B in epizoda A. Prva je met kocke z lihim številom, druga pa je pojav številke pet na kocki. Potem se izkaže, da A daje prednost B-ju.

Neodvisni dogodki v teoriji verjetnosti so projicirani le na dva ali več primerov in pomenijo neodvisnost katerega koli dejanja od drugega. Na primer, A je izguba glav pri metanju kovanca, B pa je vlečenje fanta iz krova. V teoriji verjetnosti so neodvisni dogodki. Na tej točki je postalo bolj jasno.

Tudi odvisni dogodki v teoriji verjetnosti so dopustni samo za množico njih. Predstavljajo odvisnost enega od drugega, to pomeni, da se pojav B lahko pojavi le, če se je A že zgodil ali se, nasprotno, ni zgodil, ko je to glavni pogoj za B.

Rezultat naključnega poskusa, sestavljenega iz ene komponente, so elementarni dogodki. Teorija verjetnosti pojasnjuje, da je to pojav, ki se je zgodil le enkrat.

Osnovne formule

Tako smo zgoraj obravnavali pojma "dogodek" in "teorija verjetnosti", podana je bila tudi definicija osnovnih pojmov te znanosti. Zdaj je čas, da se neposredno seznanimo s pomembnimi formulami. Ti izrazi matematično potrjujejo vse glavne koncepte tako zapletene teme, kot je teorija verjetnosti. Tudi tu igra verjetnost dogodka veliko vlogo.

Bolje je začeti z osnovnimi. In preden začnete z njimi, je vredno razmisliti, kaj so.

Kombinatorika je predvsem veja matematike, ukvarja se s preučevanjem velikega števila celih števil, pa tudi z različnimi permutacijami samih števil in njihovih elementov, različnih podatkov itd., Kar vodi do pojava številnih kombinacij. Poleg teorije verjetnosti je ta veja pomembna za statistiko, računalništvo in kriptografijo.

Torej, zdaj lahko nadaljujemo s predstavitvijo samih formul in njihove definicije.

Prvi od njih bo izraz za število permutacij, izgleda takole:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Enačba se uporabi le, če se elementi razlikujejo le po vrstnem redu njihove razporeditve.

Zdaj bo obravnavana formula umestitve, izgleda takole:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ta izraz velja ne samo za vrstni red postavitve elementa, ampak tudi za njegovo sestavo.

Tretja enačba iz kombinatorike in je tudi zadnja, se imenuje formula za število kombinacij:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se nanaša na izbore, ki niso urejeni, zato zanje velja to pravilo.

Kombinatorične formule je bilo enostavno razumeti; zdaj lahko preidete na klasično definicijo verjetnosti. Ta izraz izgleda takole:

V tej formuli je m število ugodnih pogojev za dogodek A, n pa število absolutno vseh enako možnih in osnovnih izidov.

obstaja veliko število izrazov, članek ne bo upošteval vseh, vendar se bomo dotaknili najpomembnejših med njimi, kot je na primer verjetnost vsote dogodkov:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ta izrek je za seštevanje samo nekompatibilnih dogodkov;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - in ta je za dodajanje samo združljivih.

Verjetnost dogodkov:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ta izrek velja za neodvisne dogodke;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - in ta je za vzdrževane.

Seznam dogodkov bo dopolnila formula dogodkov. Teorija verjetnosti nam pove o Bayesovem izreku, ki izgleda takole:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

V tej formuli je H 1, H 2, ..., H n popolna skupina hipotez.

Primeri

Če natančno preučite kateri koli del matematike, ni popoln brez vaj in vzorčnih rešitev. Prav tako teorija verjetnosti: dogodki in primeri so tu sestavni del, ki potrjuje znanstvene izračune.

Formula za število permutacij

Recimo, da je v kompletu kart trideset kart, začenši z vrednostjo ena. Naslednje vprašanje. Na koliko načinov je mogoče zložiti komplet tako, da karte z vrednostjo ena in dve ne bodo ena poleg druge?

Naloga je postavljena, zdaj pa preidimo na njeno rešitev. Najprej morate določiti število permutacij tridesetih elementov, za to vzamemo zgoraj predstavljeno formulo, izkaže se, da je P_30 = 30!.

Na podlagi tega pravila ugotovimo, koliko možnosti je za zlaganje krova na različne načine, vendar moramo od njih odšteti tiste, pri katerih sta prva in druga karta ena poleg druge. Če želite to narediti, začnimo z možnostjo, ko je prvi nad drugim. Izkazalo se je, da lahko prva karta zavzame devetindvajset mest – od prvega do devetindvajsetega, druga karta pa od drugega do tridesetega, kar pomeni skupaj devetindvajset mest za par kart. Ostali lahko sprejmejo osemindvajset mest in v poljubnem vrstnem redu. To pomeni, da je za preurejanje osemindvajsetih kart na voljo osemindvajset možnosti P_28 = 28!

Kot rezultat se izkaže, da če upoštevamo rešitev, ko je prva karta nad drugo, bo 29 ⋅ 28 dodatnih možnosti! = 29!

Z isto metodo morate izračunati število odvečnih možnosti za primer, ko je prva kartica pod drugo. Izkazalo se je tudi, da je 29 ⋅ 28! = 29!

Iz tega sledi, da sta dodatni možnosti 2 ⋅ 29!, medtem ko je potrebnih načinov sestavljanja špila 30! - 2 ⋅ 29!. Ostane le še štetje.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Zdaj morate pomnožiti vsa števila od ena do devetindvajset in nato končno vse pomnožiti z 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primer rešitve. Formula za številko umestitve

V tej nalogi morate ugotoviti, na koliko načinov lahko na eno polico postavite petnajst zvezkov, vendar pod pogojem, da je skupaj trideset zvezkov.

Rešitev te težave je nekoliko preprostejša od prejšnje. Po že znani formuli je treba izračunati skupno število priredb tridesetih zvezkov od petnajstih.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odgovor bo torej enak 202.843.204.931.727.360.000.

Sedaj pa se lotimo malo težje naloge. Ugotoviti morate, na koliko načinov lahko razporedite trideset knjig na dve knjižni polici, glede na to, da je na eni polici le petnajst zvezkov.

Preden se lotim reševanja, bi rad pojasnil, da je nekatere težave mogoče rešiti na več načinov, ta pa ima dva načina, vendar oba uporabljata isto formulo.

V tej nalogi lahko vzamete odgovor iz prejšnje, saj smo tam izračunali, kolikokrat lahko na različne načine napolnite polico s petnajstimi knjigami. Izkazalo se je A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugo polico bomo izračunali s permutacijsko formulo, saj lahko vanjo postavimo petnajst knjig, ostane pa le petnajst. Uporabimo formulo P_15 = 15!.

Izkazalo se je, da bo vsota A_30^15 ⋅ P_15 načinov, vendar bo treba poleg tega zmnožek vseh števil od trideset do šestnajst pomnožiti z zmnožkom števil od ena do petnajst, na koncu boste bo dobil zmnožek vseh števil od ena do trideset, torej je odgovor enak 30!

Toda ta problem je mogoče rešiti drugače - lažje. Če želite to narediti, si lahko predstavljate, da je ena polica za trideset knjig. Vsi so postavljeni na tej ravnini, a ker pogoj zahteva, da sta polici dve, smo eno dolgo razpolovili, tako da dobimo dve od petnajstih. Iz tega se izkaže, da je lahko P_30 = 30 možnosti za ureditev!.

Primer rešitve. Formula za številko kombinacije

Zdaj bomo razmislili o različici tretjega problema iz kombinatorike. Ugotoviti je treba, na koliko načinov je mogoče urediti petnajst knjig, pod pogojem, da morate izbrati med tridesetimi popolnoma enakimi.

Za rešitev bo seveda uporabljena formula za število kombinacij. Iz pogoja postane jasno, da vrstni red enakih petnajstih knjig ni pomemben. Zato morate najprej ugotoviti skupno število kombinacije tridesetih knjig po petnajst.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

To je vse. Z uporabo te formule, v najkrajši čas uspelo rešiti to težavo, je odgovor torej 155.117.520.

Primer rešitve. Klasična definicija verjetnosti

Z zgornjo formulo lahko najdete odgovor na preprosto težavo. Toda to bo pomagalo jasno videti in spremljati napredek dejanj.

Problem navaja, da je v žari deset popolnoma enakih kroglic. Od tega so štiri rumene in šest modrih. Iz žare se vzame ena krogla. Ugotoviti morate verjetnost, da postanete modri.

Za rešitev problema je potrebno označiti pridobitev modre žoge kot dogodek A. Ta poskus ima lahko deset izidov, ki pa so elementarni in enako možni. Hkrati jih je od desetih šest ugodnih za dogodek A. Rešujemo po formuli:

P(A) = 6 : 10 = 0,6

Z uporabo te formule smo ugotovili, da je verjetnost, da dobimo modro kroglico, 0,6.

Primer rešitve. Verjetnost vsote dogodkov

Zdaj bo predstavljena možnost, ki je rešena s formulo verjetnosti vsote dogodkov. Torej, podan je pogoj, da sta dve škatli, prva vsebuje eno sivo in pet belih kroglic, druga pa osem sivih in štiri bele kroglice. Posledično so enega od njih vzeli iz prve in druge škatle. Ugotoviti morate, kakšna je možnost, da bodo žoge, ki jih dobite, sive in bele.

Za rešitev tega problema je potrebno identificirati dogodke.

• Torej, A - je vzel sivo kroglico iz prve škatle: P(A) = 1/6.
• A’ - vzel belo kroglico tudi iz prvega polja: P(A") = 5/6.
• B - siva krogla je bila odstranjena iz drugega polja: P(B) = 2/3.
• B’ - vzel sivo kroglico iz druge škatle: P(B") = 1/3.

Glede na pogoje problema je nujno, da se zgodi eden od pojavov: AB’ ali A’B. Z uporabo formule dobimo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Zdaj je bila uporabljena formula za množenje verjetnosti. Nato, če želite izvedeti odgovor, morate uporabiti enačbo njihovega dodajanja:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Tako lahko s formulo rešite podobne probleme.

Spodnja črta

Članek je predstavil informacije o temi "Teorija verjetnosti", v kateri ima verjetnost dogodka ključno vlogo. Seveda ni bilo upoštevano vse, vendar se lahko na podlagi predstavljenega besedila teoretično seznanite s tem delom matematike. Zadevna znanost je lahko uporabna ne le pri strokovnem delu, ampak tudi pri Vsakdanje življenje. Z njegovo pomočjo lahko izračunate vsako možnost katerega koli dogodka.

Besedilo se je dotaknilo tudi pomembnih datumov v zgodovini oblikovanja teorije verjetnosti kot znanosti in imen ljudi, katerih delo je bilo vloženo vanjo. Tako je človeška radovednost privedla do tega, da so se ljudje naučili izračunati tudi naključne dogodke. Nekoč jih je to preprosto zanimalo, danes pa za to vedo že vsi. In nihče ne bo povedal, kaj nas čaka v prihodnosti, katera druga briljantna odkritja, povezana z obravnavano teorijo, bodo narejena. Nekaj ​​pa je gotovo - raziskave ne mirujejo!

Ko je kovanec vržen, lahko rečemo, da bo pristal heads up, oz verjetnost to je 1/2. Seveda pa to ne pomeni, da če kovanec vržemo 10-krat, bo nujno 5-krat pristal na glavah. Če je kovanec "pošten" in če je večkrat vržen, bodo glave polovico časa pristale zelo blizu. Tako obstajata dve vrsti verjetnosti: eksperimentalno in teoretično .

Eksperimentalna in teoretična verjetnost

Če vržemo kovanec velikokrat - recimo 1000 - in preštejemo, kolikokrat pade na glave, lahko določimo verjetnost, da pristane na glavah. Če se glave vržejo 503-krat, lahko izračunamo verjetnost, da bo pristala:
503/1000 ali 0,503.

to eksperimentalno definicija verjetnosti. Ta definicija verjetnosti izhaja iz opazovanja in preučevanja podatkov ter je precej pogosta in zelo uporabna. Tukaj je na primer nekaj verjetnosti, ki so bile določene eksperimentalno:

1. Verjetnost, da bo ženska zbolela za rakom dojke, je 1/11.

2. Če poljubiš nekoga, ki je prehlajen, potem je verjetnost, da boš tudi ti prehlajen, 0,07.

3. Oseba, ki je bila pravkar izpuščena iz zapora, ima 80% možnosti, da se vrne v zapor.

Če razmislimo o metu kovanca in upoštevamo, da je enako verjetno, da bo prišel na glavo ali na rep, lahko izračunamo verjetnost, da dobimo glave: 1/2. To je teoretična definicija verjetnosti. Tukaj je nekaj drugih verjetnosti, ki so bile teoretično določene z uporabo matematike:

1. Če je v sobi 30 ljudi, je verjetnost, da imata dva isti rojstni dan (brez letnice), 0,706.

2. Med potovanjem nekoga spoznaš in med pogovorom ugotoviš, da imata skupnega prijatelja. Tipična reakcija: "To ne more biti!" Pravzaprav ta besedna zveza ni primerna, saj je verjetnost takega dogodka precej visoka - nekaj več kot 22%.

Tako se eksperimentalne verjetnosti določijo z opazovanjem in zbiranjem podatkov. Teoretične verjetnosti so določene z matematičnim sklepanjem. Primeri eksperimentalnih in teoretičnih verjetnosti, kot so zgoraj obravnavani, in še posebej tisti, ki jih ne pričakujemo, nas pripeljejo do pomembnosti preučevanja verjetnosti. Lahko vprašate: "Kakšna je prava verjetnost?" Pravzaprav tega ni. Verjetnosti v določenih mejah je mogoče določiti eksperimentalno. Lahko ali pa ne sovpadajo z verjetnostmi, ki jih dobimo teoretično. Obstajajo situacije, v katerih je veliko lažje določiti eno vrsto verjetnosti kot drugo. Na primer, zadostovalo bi ugotoviti verjetnost prehlada s teoretično verjetnostjo.

Izračun eksperimentalnih verjetnosti

Najprej razmislimo o eksperimentalni definiciji verjetnosti. Osnovno načelo, ki ga uporabljamo za izračun takih verjetnosti, je naslednje.

Načelo P (eksperimentalno)

Če se v poskusu, v katerem je bilo opravljenih n opazovanj, situacija ali dogodek E pojavi m-krat v n opazovanjih, potem pravimo, da je eksperimentalna verjetnost dogodka P (E) = m/n.

Primer 1 Sociološka raziskava. Izvedena je bila eksperimentalna raziskava za ugotavljanje števila levičarjev, desničarjev in oseb z obema rokama enako razvitima.Rezultati so prikazani v grafu.

a) Določite verjetnost, da je oseba desničar.

b) Ugotovite verjetnost, da je oseba levičar.

c) Ugotovite verjetnost, da oseba enako tekoče govori z obema rokama.

d) Večina turnirjev Professional Bowling Association je omejena na 120 igralcev. Na podlagi podatkov iz tega poskusa, koliko igralcev bi lahko bilo levičarjev?

rešitev

a) Število ljudi, ki so desničarji, je 82, število levičarjev je 17, število tistih, ki enako tekoče govorijo z obema rokama, pa je 1. Skupno število opazovanj je 100. Tako je verjetnost, da da je oseba desničar je P
P = 82/100 ali 0,82 ali 82 %.

b) Verjetnost, da je oseba levičar, je P, kjer je
P = 17/100 ali 0,17 ali 17 %.

c) Verjetnost, da oseba enako tekoče govori z obema rokama, je P, kjer je
P = 1/100 ali 0,01 ali 1 %.

d) 120 kegljačev, od (b) pa lahko pričakujemo, da je 17 % levičarjev. Od tod
17 % od 120 = 0,17,120 = 20,4,
to pomeni, da lahko pričakujemo približno 20 igralcev, ki bodo levičarji.

Primer 2 Kontrola kakovosti . Za proizvajalca je zelo pomembno, da ohranja kakovost svojih izdelkov na visoka stopnja. Pravzaprav podjetja najamejo inšpektorje za nadzor kakovosti, da zagotovijo ta proces. Cilj je proizvesti čim manjše število izdelkov z napako. Ker pa podjetje vsak dan proizvede na tisoče izdelkov, si ne more privoščiti testiranja vsakega izdelka, da bi ugotovili, ali je okvarjen ali ne. Da bi ugotovili, kolikšen odstotek izdelkov ima napako, podjetje testira veliko manj izdelkov.
Ministrstvo Kmetijstvo ZDA zahtevajo, da mora 80 % semen, ki jih prodajajo pridelovalci, kaliti. Za ugotavljanje kakovosti semen, ki jih pridela kmetijsko podjetje, se posadi 500 semen od pridelanih. Po tem so izračunali, da je vzklilo 417 semen.

a) Kakšna je verjetnost, da bo seme vzklilo?

b) Ali semena izpolnjujejo vladne standarde?

rešitev a) Vemo, da je od 500 posejanih semen vzklilo 417 semen. Verjetnost kalitve semena P, in
P = 417/500 = 0,834 ali 83,4 %.

b) Ker je odstotek kaljenih semen presegel zahtevanih 80 %, semena izpolnjujejo vladne standarde.

Primer 3 Televizijske ocene. Po statističnih podatkih je v ZDA 105.500.000 gospodinjstev s televizijo. Vsak teden se zbirajo in obdelujejo informacije o gledanosti programov. V enem tednu si je 7.815.000 gospodinjstev ogledalo uspešnico humoristične serije "Everybody Loves Raymond" na CBS in 8.302.000 gospodinjstev gledalo uspešnico "Zakon in red" na NBC (Vir: Nielsen Media Research). Kakšna je verjetnost, da bo TV v enem gospodinjstvu v določenem tednu nastavljen na "Vsi ljubijo Raymonda"? na "Zakon in red"?

rešitev Verjetnost, da je TV v enem gospodinjstvu nastavljen na "Vsi ljubijo Raymonda", je P in
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Možnost, da je bil gospodinjski televizor nastavljen na zakon in red, je P in
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Ti odstotki se imenujejo ocene.

Teoretična verjetnost

Recimo, da izvajamo poskus, kot je met kovanca ali pikado, vlečenje kart iz kompleta ali preizkušanje kakovosti izdelkov na tekočem traku. Vsak možni rezultat takšnega poskusa se imenuje Eksodus . Množica vseh možnih rezultatov se imenuje prostor izida . Dogodek je množica izidov, torej podmnožica prostora izidov.

Primer 4 Metanje pikada. Recimo, da pri poskusu metanja puščice puščica zadene tarčo. Poiščite vsako od naslednjega:

b) Prostor rezultatov

rešitev
a) Rezultati so: udarec črnega (B), udarec rdečega (R) in udarec belega (B).

b) Prostor izidov je (zadeti črno, zadeti rdeče, zadeti belo), kar lahko preprosto zapišemo kot (H, K, B).

Primer 5 Metanje kock. Kocka je kocka s šestimi stranicami, na vsaki pa je ena do šest pik.


Recimo, da mečemo kocko. Najti
a) Rezultati
b) Prostor rezultatov

rešitev
a) Rezultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor za rezultat (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Verjetnost, da se zgodi dogodek E, označimo s P(E). Na primer, "kovanec bo pristal na glavah" lahko označimo s H. Potem P(H) predstavlja verjetnost, da bo kovanec pristal na glavah. Če imajo vsi izidi poskusa enako verjetnost, da se bodo zgodili, velja, da so enako verjetni. Če želite videti razlike med dogodki, ki so enako verjetni, in dogodki, ki niso, upoštevajte spodnji cilj.

Za tarčo A so dogodki zadetka črnega, rdečega in belega enako verjetni, saj so črni, rdeči in beli sektorji enaki. Pri tarči B pa območja s temi barvami niso enaka, torej zadetek ni enako verjeten.

Načelo P (teoretično)

Če se lahko dogodek E zgodi na m načinov od n možnih enako verjetnih izidov iz prostora izidov S, potem teoretična verjetnost dogodki, P(E) je
P(E) = m/n.

Primer 6 Kakšna je verjetnost, da vržete kocko, da dobite 3?

rešitev Na kocki je 6 enako verjetnih izidov in obstaja samo ena možnost, da vržete številko 3. Potem bo verjetnost P enaka P(3) = 1/6.

Primer 7 Kakšna je verjetnost, da vržemo sodo število na kocko?

rešitev Dogodek je met sode številke. To se lahko zgodi na 3 načine (če vržete 2, 4 ali 6). Število enako verjetnih izidov je 6. Potem je verjetnost P(sodo) = 3/6 ali 1/2.

Uporabili bomo številne primere, ki vključujejo standardni komplet 52 kart. Ta komplet je sestavljen iz kart, prikazanih na spodnji sliki.

Primer 8 Kakšna je verjetnost, da iz dobro premešanega kompleta kart izvlečemo asa?

rešitev Obstaja 52 izidov (število kart v krovu), enako verjetni (če je komplet dobro premešan) in obstajajo 4 načini, kako izvleči asa, tako da je po načelu P verjetnost
P (povleči asa) = 4/52 ali 1/13.

Primer 9 Recimo, da brez pogleda izberemo eno kroglico iz vrečke s 3 rdečimi in 4 zelenimi kroglicami. Kakšna je verjetnost, da izberemo rdečo kroglo?

rešitev Obstaja 7 enako verjetnih izidov žrebanja katere koli žogice, in ker je število načinov za izvlečenje rdeče žogice 3, dobimo
P (izbira rdeče kroglice) = 3/7.

Naslednje izjave so rezultat načela P.

Lastnosti verjetnosti

a) Če se dogodek E ne more zgoditi, potem je P(E) = 0.
b) Če se bo dogodek E zagotovo zgodil, potem je P(E) = 1.
c) Verjetnost, da se dogodek E zgodi, je število od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primer, pri metu kovanca je verjetnost, da kovanec pade na rob, enaka nič. Verjetnost, da je kovanec glava ali rep, je verjetnost 1.

Primer 10 Predpostavimo, da sta iz kompleta 52 kart izvlečeni 2 karti. Kakšna je verjetnost, da sta oba vrhova?

rešitevŠtevilo n načinov za poteg 2 kart iz dobro premešanega kompleta 52 kart je 52 C 2 . Ker je 13 od 52 kart pikov, je število načinov, kako m izvleči 2 pika, 13 C 2 . potem,
P (vlečenje 2 vrhov) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primer 11 Recimo, da so 3 osebe naključno izbrane iz skupine 6 moških in 4 žensk. Kakšna je verjetnost, da bosta izbrana 1 moški in 2 ženski?

rešitevŠtevilo načinov za izbiro treh ljudi iz skupine 10 ljudi je 10 C 3. En moški je lahko izbran na 6 C 1 načinov, 2 ženski pa na 4 C 2 načina. V skladu s temeljnim načelom štetja je število načinov za izbiro 1 moškega in 2 žensk 6 C 1. 4 C 2 . Potem je verjetnost, da bosta izbrana 1 moški in 2 ženski, enaka
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Primer 12 Metanje kock. Kakšna je verjetnost, da vržete skupaj 8 na dveh kockah?

rešitev Vsaka kocka ima 6 možnih rezultatov. Izidi so podvojeni, kar pomeni, da obstaja 6,6 ali 36 možnih načinov, na katere se lahko pojavijo številke na dveh kockah. (Bolje je, če sta kocki različni, recimo, da je ena rdeča in druga modra - to bo pomagalo vizualizirati rezultat.)

Pari števil, ki dajejo seštevek 8, so prikazani na spodnji sliki. Obstaja 5 možne načine prejmete vsoto, ki je enaka 8, zato je verjetnost 5/36.

"Nesreče niso naključne" ... Sliši se kot nekaj, kar je rekel filozof, a v resnici je preučevanje nesreč usoda velika znanost matematika. V matematiki se z naključjem ukvarja teorija verjetnosti. V članku bodo predstavljene formule in primeri nalog ter osnovne definicije te znanosti.

Kaj je teorija verjetnosti?

Teorija verjetnosti je ena od matematičnih disciplin, ki preučuje naključne dogodke.

Da bi bilo malo bolj jasno, navedimo kratek primer: če vržete kovanec navzgor, lahko pristane na glavi ali repu. Medtem ko je kovanec v zraku, sta možni obe verjetnosti. Se pravi verjetnost možne posledice razmerje je 1:1. Če je ena izvlečena iz kompleta 36 kart, bo verjetnost navedena kot 1:36. Zdi se, da tukaj ni kaj raziskovati in napovedovati, zlasti s pomočjo matematičnih formul. Vendar, če ponovite določeno dejanje velikokrat je mogoče prepoznati določen vzorec in na njegovi podlagi predvideti razplet dogodkov v drugih razmerah.

Če povzamemo vse zgoraj navedeno, teorija verjetnosti v klasičnem smislu preučuje možnost pojava enega od možnih dogodkov v numerični vrednosti.

S strani zgodovine

Teorija verjetnosti, formule in primeri prvih nalog so se pojavili v daljnem srednjem veku, ko so se prvič pojavili poskusi napovedovanja izida iger s kartami.

Na začetku teorija verjetnosti ni imela nobene zveze z matematiko. Upravičeno je bilo z empiričnimi dejstvi ali lastnostmi dogodka, ki jih je bilo mogoče reproducirati v praksi. Prva dela na tem področju kot matematične discipline so se pojavila v 17. stoletju. Ustanovitelja sta bila Blaise Pascal in Pierre Fermat. Dolgo časa preučevali so igre na srečo in videli določene vzorce, o katerih so se odločili povedati družbi.

Enako tehniko je izumil Christiaan Huygens, čeprav ni bil seznanjen z rezultati raziskav Pascala in Fermata. Uvedel je koncept "teorije verjetnosti", formule in primere, ki veljajo za prve v zgodovini discipline.

Nemalo pomembna so tudi dela Jacoba Bernoullija, Laplaceov in Poissonov izrek. Teorijo verjetnosti so naredili bolj kot matematično disciplino. Teorija verjetnosti, formule in primeri osnovnih nalog so dobili današnjo obliko po zaslugi aksiomov Kolmogorova. Zaradi vseh sprememb je teorija verjetnosti postala ena od matematičnih vej.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Dogodki

Glavni koncept te discipline je »dogodek«. Obstajajo tri vrste dogodkov:

• Zanesljiv. Tisti, ki se bodo vseeno zgodili (kovanec bo padel).
• Nemogoče. Dogodki, ki se pod nobenim pogojem ne bodo zgodili (kovanec bo ostal viseti v zraku).
• Naključen. Tisti, ki se bodo zgodili ali pa se ne bodo zgodili. Nanje lahko vplivajo različni dejavniki, ki jih je zelo težko predvideti. Če govorimo o kovancu, potem naključni dejavniki, ki lahko vplivajo na rezultat: telesne lastnosti kovanci, njihova oblika, začetni položaj, sila meta itd.

Vsi dogodki v primerih so označeni z velikimi črkami z latinskimi črkami, z izjemo P, ki ima drugačno vlogo. Na primer:

• A = "študentje so prišli na predavanje."
• Ā = “študentje niso prišli na predavanje.”

Pri praktičnih nalogah so dogodki običajno zapisani z besedami.

Ena najpomembnejših lastnosti dogodkov je njihova enaka možnost. Se pravi, če vržete kovanec, so možne vse različice začetnega padca, dokler ne pade. A dogodki tudi niso enako mogoči. To se zgodi, ko nekdo namerno vpliva na izid. Na primer "označeno" igranje kart ali kocke, pri katerih je težišče premaknjeno.

Dogodki so lahko tudi združljivi in ​​nezdružljivi. Združljivi dogodki ne izključujejo pojava drug drugega. Na primer:

• A = "študent je prišel na predavanje."
• B = "študent je prišel na predavanje."

Ti dogodki so neodvisni drug od drugega in pojav enega od njih ne vpliva na pojav drugega. Nezdružljivi dogodki so opredeljeni z dejstvom, da pojav enega izključuje pojav drugega. Če govorimo o istem kovancu, potem izguba "repov" onemogoča pojav "glav" v istem poskusu.

Ukrepi na dogodkih

Dogodke je mogoče množiti in seštevati, zato sta v disciplini uvedena logična veznika »IN« in »ALI«.

Količina je določena z dejstvom, da se lahko dogodek A ali B ali dva zgodita hkrati. Če sta nezdružljiva, je zadnja možnost nemogoča; vrgla bosta A ali B.

Množenje dogodkov je sestavljeno iz istočasnega pojavljanja A in B.

Zdaj lahko navedemo več primerov, da si bolje zapomnimo osnove, teorijo verjetnosti in formule. Primeri reševanja problemov spodaj.

1. vaja: Podjetje sodeluje v natečaju za pridobitev pogodb za tri vrste del. Možni dogodki, ki se lahko pojavijo:

• A = "podjetje bo prejelo prvo pogodbo."
• A 1 = "podjetje ne bo prejelo prve pogodbe."
• B = "podjetje bo prejelo drugo pogodbo."
• B 1 = "podjetje ne bo prejelo druge pogodbe"
• C = "podjetje bo prejelo tretjo pogodbo."
• C 1 = "podjetje ne bo prejelo tretje pogodbe."

Z dejanji na dogodkih bomo poskušali izraziti naslednje situacije:

• K = "podjetje bo prejelo vse pogodbe."

V matematični obliki bo enačba imela naslednjo obliko: K = ABC.

• M = "podjetje ne bo prejelo niti ene pogodbe."

M = A 1 B 1 C 1.

Zapletimo nalogo: H = "podjetje bo prejelo eno pogodbo." Ker ni znano, katero pogodbo bo podjetje prejelo (prvo, drugo ali tretjo), je potrebno zabeležiti celoten niz možnih dogodkov:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

In 1 pr. n. št. 1 je serija dogodkov, kjer podjetje ne prejme prve in tretje pogodbe, prejme pa drugo. Drugi možni dogodki so bili zabeleženi z ustrezno metodo. Simbol υ v disciplini označuje veznik »ALI«. Če zgornji primer prevedemo v človeški jezik, bo podjetje prejelo ali tretjo pogodbo, ali drugo, ali prvo. Na podoben način lahko zapišete druge pogoje v disciplini "Teorija verjetnosti". Zgoraj predstavljene formule in primeri reševanja problemov vam bodo pomagali, da to storite sami.

Pravzaprav verjetnost

Morda je v tej matematični disciplini verjetnost dogodka osrednji koncept. Obstajajo 3 definicije verjetnosti:

• klasična;
• statistični;
• geometrijski.

Vsak ima svoje mesto v študiji verjetnosti. Teorija verjetnosti, formule in primeri (9. razred) uporabljajo predvsem klasično definicijo, ki zveni takole:

• Verjetnost situacije A je enaka razmerju med številom izidov, ki podpirajo njen pojav, in številom vseh možnih izidov.

Formula izgleda takole: P(A)=m/n.

A je pravzaprav dogodek. Če se pojavi primer, nasproten A, ga lahko zapišemo kot Ā ali A 1 .

m je število možnih ugodnih primerov.

n - vsi dogodki, ki se lahko zgodijo.

Na primer, A = "povleci karto srčkane barve." V standardnem kompletu je 36 kart, od tega jih je 9 srčkov. V skladu s tem bo formula za rešitev problema videti tako:

P(A)=9/36=0,25.

Posledično bo verjetnost, da bo iz kompleta potegnjena karta srčaste barve, 0,25.

Proti višji matematiki

Zdaj je postalo malo znano, kaj je teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja problemov, ki se pojavljajo v šolski kurikulum. Teorijo verjetnosti pa najdemo tudi v višji matematiki, ki se poučuje na univerzah. Najpogosteje operirajo z geometrijskimi in statističnimi definicijami teorije in kompleksnimi formulami.

Teorija verjetnosti je zelo zanimiva. Formule in primeri ( višja matematika) je bolje začeti študirati z majhnim - s statistično (ali frekvenčno) definicijo verjetnosti.

Statistični pristop ni v nasprotju s klasičnim, ampak ga nekoliko širi. Če je bilo v prvem primeru treba ugotoviti, s kakšno verjetnostjo se bo dogodek zgodil, potem je treba v tej metodi navesti, kako pogosto se bo zgodil. Tu je uveden nov koncept "relativne frekvence", ki jo lahko označimo z W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Če se za napovedovanje izračuna klasična formula, se statistična izračuna glede na rezultate poskusa. Vzemimo za primer majhno nalogo.

Oddelek tehnološke kontrole preverja kakovost izdelkov. Med 100 izdelki so bili 3 nekakovostni. Kako najti verjetnost frekvence kakovostnega izdelka?

A = "videz kakovostnega izdelka."

W n (A)=97/100=0,97

Tako je frekvenca kakovostnega izdelka 0,97. Od kje ti 97? Od 100 pregledanih izdelkov so bili 3 nekvalitetni. Od 100 odštejemo 3 in dobimo 97, to je količina kakovostnega blaga.

Nekaj ​​malega o kombinatoriki

Druga metoda teorije verjetnosti se imenuje kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je, da če je mogoče narediti določeno izbiro A, m različne poti, in izbira B je na n različnih načinov, potem lahko izbiro A in B izvedete z množenjem.

Na primer, iz mesta A v mesto B vodi 5 cest. Iz mesta B v mesto C vodijo 4 poti. Na koliko načinov lahko prideš iz mesta A v mesto C?

Preprosto je: 5x4=20, torej na dvajset različnih načinov lahko prideš od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo nalogo. Na koliko načinov lahko razporedite karte v pasijansu? V kompletu je 36 kart – to je izhodišče. Če želite izvedeti število načinov, morate od začetne točke "odšteti" eno karto naenkrat in pomnožiti.

To pomeni, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat se ne prilega zaslonu kalkulatorja, zato ga lahko preprosto označimo kot 36!. Podpiši "!" poleg številke pomeni, da je celotna serija števil pomnožena skupaj.

V kombinatoriki obstajajo koncepti, kot so permutacija, postavitev in kombinacija. Vsak od njih ima svojo formulo.

Urejena množica elementov množice se imenuje aranžma. Postavitve se lahko ponavljajo, to pomeni, da se en element lahko uporabi večkrat. In brez ponavljanja, ko se elementi ne ponavljajo. n so vsi elementi, m so elementi, ki sodelujejo pri postavitvi. Formula za umestitev brez ponavljanja bo videti takole:

A n m =n!/(n-m)!

Povezave n elementov, ki se razlikujejo le po vrstnem redu postavitve, imenujemo permutacije. V matematiki je to videti takole: P n = n!

Kombinacije n elementov od m so tiste spojine, pri katerih je pomembno, kateri elementi so bili in koliko je njihovo skupno število. Formula bo videti tako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

V teoriji verjetnosti, tako kot v vsaki disciplini, obstajajo dela izjemnih raziskovalcev na svojem področju, ki so jo dvignili na novo raven. Eno od teh del je Bernoullijeva formula, ki vam omogoča, da določite verjetnost, da se določen dogodek zgodi v neodvisnih pogojih. To nakazuje, da pojav A v poskusu ni odvisen od pojava ali nepojavitve istega dogodka v prejšnjih ali naslednjih poskusih.

Bernoullijeva enačba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Verjetnost (p) pojava dogodka (A) je konstantna za vsak poskus. Verjetnost, da se bo situacija zgodila natanko m-krat v n številu poskusov, bo izračunana z zgoraj predstavljeno formulo. V skladu s tem se postavlja vprašanje, kako najti število q.

Če se dogodek A zgodi p tolikokrat, se lahko zgodi, da se ne zgodi. Enota je številka, ki se uporablja za označevanje vseh rezultatov situacije v disciplini. Zato je q število, ki označuje možnost, da se dogodek ne zgodi.

Zdaj poznate Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov (prva raven).

Naloga 2: Obiskovalec trgovine bo opravil nakup z verjetnostjo 0,2. V trgovino je samostojno vstopilo 6 obiskovalcev. Kakšna je verjetnost, da bo obiskovalec opravil nakup?

Rešitev: Ker ni znano, koliko obiskovalcev naj opravi nakup, eden ali vseh šest, je treba izračunati vse možne verjetnosti z Bernoullijevo formulo.

A = "obiskovalec bo opravil nakup."

V tem primeru: p = 0,2 (kot je navedeno v nalogi). V skladu s tem je q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ker je v trgovini 6 strank). Število m se bo spreminjalo od 0 (noben kupec ne bo kupil) do 6 (vsi obiskovalci trgovine bodo nekaj kupili). Kot rezultat dobimo rešitev:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nobeden od kupcev ne bo opravil nakupa z verjetnostjo 0,2621.

Kako se sicer uporablja Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti)? Primeri reševanja problemov (drugi nivo) spodaj.

Po zgornjem primeru se porajajo vprašanja, kam sta šla C in r. Glede na p bo število na potenco 0 enako ena. Kar se tiče C, ga lahko najdete po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Ker je v prvem primeru m = 0, je C = 1, kar načeloma ne vpliva na rezultat. Z novo formulo poskusimo ugotoviti, kakšna je verjetnost, da bosta blago kupila dva obiskovalca.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija verjetnosti ni tako zapletena. Bernoullijeva formula, katere primeri so predstavljeni zgoraj, je neposreden dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova enačba se uporablja za izračun naključnih situacij z majhno verjetnostjo.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

V tem primeru je λ = n x p. Tukaj je preprosta Poissonova formula (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov.

Naloga 3: Tovarna je izdelala 100.000 delov. Pojav okvarjenega dela = 0,0001. Kakšna je verjetnost, da bo v seriji 5 okvarjenih delov?

Kot lahko vidite, je poroka malo verjeten dogodek, zato se za izračun uporablja Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja tovrstnih problemov se ne razlikujejo od drugih nalog v disciplini, potrebne podatke nadomestimo v dano formulo:

A = "naključno izbrani del bo pokvarjen."

p = 0,0001 (glede na pogoje naloge).

n = 100000 (število delov).

m = 5 (pokvarjeni deli). Podatke nadomestimo v formulo in dobimo:

100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Tako kot Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti), primeri rešitev, ki uporabljajo zgoraj, ima Poissonova enačba neznano e. Pravzaprav jo lahko najdemo s formulo:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Vendar pa obstajajo posebne tabele, ki vsebujejo skoraj vse vrednosti e.

De Moivre-Laplaceov izrek

Če je v Bernoullijevi shemi število poskusov dovolj veliko in je verjetnost pojava dogodka A v vseh shemah enaka, potem je verjetnost pojava dogodka A določeno število krat v nizu testov mogoče najti z Laplaceova formula:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da bi si bolje zapomnili Laplaceovo formulo (teorija verjetnosti), so spodaj navedeni primeri problemov.

Najprej poiščemo X m, nadomestimo podatke (vsi so navedeni zgoraj) v formulo in dobimo 0,025. S pomočjo tabel poiščemo število ϕ(0,025), katerega vrednost je 0,3988. Zdaj lahko vse podatke nadomestite s formulo:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Tako je verjetnost, da bo letak deloval točno 267-krat, 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija verjetnosti), primeri reševanja problemov, s pomočjo katere bodo podani spodaj, je enačba, ki opisuje verjetnost dogodka glede na okoliščine, ki bi lahko bile z njim povezane. Osnovna formula je naslednja:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A in B sta dokončna dogodka.

P(A|B) je pogojna verjetnost, kar pomeni, da se dogodek A lahko zgodi, če je dogodek B resničen.

P (B|A) - pogojna verjetnost dogodka B.

Torej, zadnji del kratkega predmeta "Teorija verjetnosti" je Bayesova formula, primeri rešitev težav s katerimi so spodaj.

Naloga 5: V skladišče so pripeljali telefone treh podjetij. Hkrati je delež telefonov, proizvedenih v prvi tovarni, 25%, v drugi - 60%, v tretji - 15%. Znano je tudi, da je povprečni odstotek okvarjenih izdelkov v prvi tovarni 2%, v drugi 4% in v tretji 1%. Ugotoviti morate verjetnost, da bo naključno izbrani telefon okvarjen.

A = "naključno izbran telefon."

B 1 - telefon, ki ga je izdelala prva tovarna. V skladu s tem se pojavita uvodni B 2 in B 3 (za drugo in tretjo tovarno).

Kot rezultat dobimo:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo ugotovili verjetnost vsake možnosti.

Zdaj morate najti pogojne verjetnosti želenega dogodka, to je verjetnost pokvarjenih izdelkov v podjetjih:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Zdaj nadomestimo podatke v Bayesovo formulo in dobimo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članek predstavlja teorijo verjetnosti, formule in primere reševanja problemov, vendar je to le vrh ledene gore obsežne discipline. In po vsem napisanem se bo logično vprašati, ali je teorija verjetnosti v življenju potrebna. Preprostemu človeku Težko je odgovoriti, bolje je vprašati nekoga, ki je z njim že večkrat osvojil jackpot.

Pravzaprav sta formuli (1) in (2) kratek zapis pogojne verjetnosti, ki temelji na kontingenčni tabeli značilnosti. Vrnimo se k obravnavanemu primeru (slika 1). Recimo, da izvemo, da družina namerava kupiti širokozaslonski televizor. Kakšna je verjetnost, da bo ta družina dejansko kupila tak televizor?

riž. 1. Nakupno vedenje pri širokozaslonskem televizorju

V tem primeru moramo izračunati pogojno verjetnost P (nakup opravljen | nakup načrtovan). Ker vemo, da družina načrtuje nakup, vzorčnega prostora ne sestavlja vseh 1000 družin, ampak samo tiste, ki načrtujejo nakup širokozaslonskega televizorja. Od 250 takih družin jih je 200 dejansko kupilo ta televizor. Zato je verjetnost, da bo družina dejansko kupila širokozaslonski televizor, če je to načrtovala, mogoče izračunati z naslednjo formulo:

P (nakup opravljen | načrtovan nakup) = število družin, ki so načrtovale in kupile TV s širokim zaslonom / število družin, ki nameravajo kupiti TV s širokim zaslonom = 200 / 250 = 0,8

Formula (2) daje enak rezultat:

kje je dogodek A je, da družina načrtuje nakup širokozaslonskega televizorja, dogodek pa IN- da ga bo dejansko kupila. Če nadomestimo dejanske podatke v formulo, dobimo:

Odločitveno drevo

Na sl. 1 družine so razdeljene v štiri kategorije: tiste, ki so nameravale kupiti širokozaslonski televizor, in tiste, ki ga niso, ter tiste, ki so tak televizor kupile, in tiste, ki ga niso. Podobno klasifikacijo lahko izvedemo z uporabo odločitvenega drevesa (slika 2). Drevo, prikazano na sl. 2 ima dve veji, ki ustrezata družinam, ki so nameravale kupiti širokozaslonski televizor, in družinam, ki tega niso nameravale kupiti. Vsaka od teh vej se razdeli na dve dodatni veji, ki ustrezata gospodinjstvom, ki so kupila in niso kupila širokozaslonski televizor. Verjetnosti, zapisane na koncih obeh glavnih vej, so brezpogojne verjetnosti dogodkov A in a'. Verjetnosti, zapisane na koncih štirih dodatnih vej, so pogojne verjetnosti vsake kombinacije dogodkov A in IN. Pogojne verjetnosti se izračunajo tako, da se skupna verjetnost dogodkov deli z ustrezno brezpogojno verjetnostjo vsakega od njih.

riž. 2. Odločitveno drevo

Na primer, za izračun verjetnosti, da bo družina kupila širokozaslonski televizor, če je to načrtovala, je treba določiti verjetnost dogodka nakup načrtovan in zaključen, nato pa ga delite z verjetnostjo dogodka načrtovan nakup. Premikanje po drevesu odločanja, prikazanem na sl. 2, dobimo naslednji (podoben prejšnjemu) odgovor:

Statistična neodvisnost

V primeru nakupa širokozaslonskega televizorja je verjetnost, da je naključno izbrana družina kupila širokozaslonski televizor glede na to, da je to načrtovala, 200/250 = 0,8. Spomnimo se, da je brezpogojna verjetnost, da je naključno izbrana družina kupila TV s širokim zaslonom, 300/1000 = 0,3. To vodi do zelo pomembnega zaključka. Predhodna informacija, da je družina načrtovala nakup, vpliva na verjetnost samega nakupa. Z drugimi besedami, ta dva dogodka sta odvisna drug od drugega. V nasprotju s tem primerom obstajajo statistično neodvisni dogodki, katerih verjetnosti niso odvisne ena od druge. Statistična neodvisnost je izražena z identiteto: P(A|B) = P(A), Kje P(A|B)- verjetnost dogodka A pod pogojem, da se je dogodek zgodil IN, P(A)- brezpogojna verjetnost dogodka A.

Upoštevajte, da dogodki A in IN P(A|B) = P(A). Če je v kontingenčni tabeli značilnosti velikosti 2×2 ta pogoj izpolnjen za vsaj eno kombinacijo dogodkov A in IN, bo veljal za katero koli drugo kombinacijo. V našem primeru dogodkov načrtovan nakup in nakup zaključen niso statistično neodvisni, ker informacije o enem dogodku vplivajo na verjetnost drugega.

Oglejmo si primer, ki prikazuje, kako preizkusiti statistično neodvisnost dveh dogodkov. Vprašajmo 300 družin, ki so kupile širokozaslonski televizor, ali so bile z nakupom zadovoljne (slika 3). Ugotovite, ali sta stopnja zadovoljstva z nakupom in vrsta televizorja povezani.

riž. 3. Podatki, ki označujejo stopnjo zadovoljstva kupcev širokozaslonskih televizorjev

Sodeč po teh podatkih,

Istočasno,

P (stranka zadovoljna) = 240 / 300 = 0,80

Zato sta verjetnosti, da je kupec zadovoljen z nakupom in da je družina kupila HDTV, enaki, ti dogodki pa so statistično neodvisni, ker med seboj niso povezani.

Pravilo množenja verjetnosti

Formula za izračun pogojne verjetnosti vam omogoča, da določite verjetnost skupnega dogodka A in B. Po razrešitvi formule (1)

glede na skupno verjetnost P(A in B), dobimo splošno pravilo za množenje verjetnosti. Verjetnost dogodka A in B enaka verjetnosti dogodka A pod pogojem, da se dogodek zgodi IN IN:

(3) P(A in B) = P(A|B) * P(B)

Vzemimo za primer 80 družin, ki so kupile širokozaslonski HDTV televizor (slika 3). Iz tabele je razvidno, da je 64 družin z nakupom zadovoljnih, 16 pa ne. Predpostavimo, da sta izmed njih naključno izbrani dve družini. Določite verjetnost, da bosta obe stranki zadovoljni. Z uporabo formule (3) dobimo:

P(A in B) = P(A|B) * P(B)

kje je dogodek A je, da je druga družina zadovoljna z nakupom in dogodkom IN- da je prva družina zadovoljna z nakupom. Verjetnost, da je prva družina zadovoljna s svojim nakupom, je 64/80. Verjetnost, da je tudi druga družina zadovoljna z nakupom, pa je odvisna od odziva prve družine. Če se prva družina po anketi ne vrne v vzorec (izbor brez vrnitve), se število anketiranih zmanjša na 79. Če je prva družina zadovoljna z nakupom, je verjetnost, da bo zadovoljna tudi druga družina, 63 /79, saj jih je v vzorčnih družinah le še 63 zadovoljnih z nakupom. Tako, če nadomestimo določene podatke v formulo (3), dobimo naslednji odgovor:

P(A in B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Zato je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojimi nakupi, 63,8 %.

Recimo, da se po raziskavi prva družina vrne v vzorec. Ugotovite verjetnost, da bosta obe družini zadovoljni s svojim nakupom. V tem primeru je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojim nakupom, enaka in znaša 64/80. Zato je P(A in B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Tako je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojimi nakupi, 64,0 %. Ta primer kaže, da izbira druge družine ni odvisna od izbire prve. Tako zamenjava pogojne verjetnosti v formuli (3) P(A|B) verjetnost P(A), dobimo formulo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov.

Pravilo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov.Če dogodki A in IN so statistično neodvisni, verjetnost dogodka A in B enaka verjetnosti dogodka A, pomnoženo z verjetnostjo dogodka IN.

(4) P(A in B) = P(A)P(B)

Če to pravilo velja za dogodke A in IN, kar pomeni, da so statistično neodvisni. Tako obstajata dva načina za določitev statistične neodvisnosti dveh dogodkov:

1. Dogodki A in IN so statistično neodvisni drug od drugega, če in samo če P(A|B) = P(A).
2. Dogodki A in B so statistično neodvisni drug od drugega, če in samo če P(A in B) = P(A)P(B).

Če je v tabeli nepredvidljivih dogodkov 2x2 eden od teh pogojev izpolnjen za vsaj eno kombinacijo dogodkov A in B, bo veljal za katero koli drugo kombinacijo.

Brezpogojna verjetnost elementarnega dogodka

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

kjer se dogodki B 1, B 2, ... B k med seboj izključujejo in izčrpujejo.

Ponazorimo uporabo te formule s primerom na sliki 1. Z uporabo formule (5) dobimo:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Kje P(A)- verjetnost, da je bil nakup načrtovan, P(B 1)- verjetnost, da bo nakup opravljen, P(B 2)- verjetnost, da nakup ni opravljen.

BAYESOV TEOREM

Pogojna verjetnost dogodka upošteva podatek, da se je zgodil nek drug dogodek. Ta pristop je mogoče uporabiti tako za izboljšanje verjetnosti ob upoštevanju na novo prejetih informacij kot za izračun verjetnosti, da je opazovani učinek posledica nekaterih poseben razlog. Postopek za izboljšanje teh verjetnosti se imenuje Bayesov izrek. Prvi ga je razvil Thomas Bayes v 18. stoletju.

Predpostavimo, da zgoraj omenjeno podjetje raziskuje trg za nov model televizorja. V preteklosti je bilo 40 % televizorjev, ki jih je ustvarilo podjetje, uspešnih, medtem ko 60 % modelov ni bilo priznanih. Preden objavijo izdajo novega modela, strokovnjaki za trženje skrbno raziščejo trg in zabeležijo povpraševanje. V preteklosti je bilo 80 % uspešnih modelov napovedanih za uspešne, medtem ko se je 30 % uspešnih napovedi izkazalo za napačnih. Tržni oddelek je dal ugodno napoved za novi model. Kakšna je verjetnost, da bo povpraševanje po novem modelu televizorja?

Bayesov izrek lahko izpeljemo iz definicij pogojne verjetnosti (1) in (2). Za izračun verjetnosti P(B|A) vzemite formulo (2):

in namesto P(A in B) nadomestimo vrednost iz formule (3):

P(A in B) = P(A|B) * P(B)

Če zamenjamo formulo (5) namesto P(A), dobimo Bayesov izrek:

kjer se dogodki B 1, B 2, ... B k med seboj izključujejo in izčrpujejo.

Vstavimo naslednji zapis: dogodek S - TV je v povpraševanju, dogodek S’ - TV ni v povpraševanju, dogodek F - ugodna prognoza, dogodek F' - slaba prognoza. Predpostavimo, da je P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Z uporabo Bayesovega izreka dobimo:

Zagotovljena je verjetnost povpraševanja po novem modelu televizorja ugodna prognoza enako 0,64. Tako je verjetnost pomanjkanja povpraševanja ob ugodni napovedi 1–0,64=0,36. Postopek izračuna je prikazan na sl. 4.

riž. 4. (a) Izračuni z uporabo Bayesove formule za oceno verjetnosti povpraševanja po televizorjih; (b) Odločitveno drevo pri proučevanju povpraševanja po novem modelu televizorja

Oglejmo si primer uporabe Bayesovega izreka za medicinska diagnostika. Verjetnost, da oseba zboli za določeno boleznijo, je 0,03. Zdravniški test lahko preveri, ali je to res. Če je oseba res bolna, verjetnost natančno diagnozo(trditi, da je človek bolan, ko je res bolan) je 0,9. Če je oseba zdrava, je verjetnost lažno pozitivne diagnoze (če je oseba bolna, ko je zdrava) 0,02. Recimo, da je zdravniški pregled dal pozitiven rezultat. Kakšna je verjetnost, da je človek res bolan? Kakšna je verjetnost natančne diagnoze?

Vstavimo naslednji zapis: dogodek D - oseba je bolna, dogodek D’ - oseba je zdrava, dogodek T - diagnoza je pozitivna, dogodek T’ - diagnoza negativna. Iz pogojev problema izhaja, da je P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Z uporabo formule (6) dobimo:

Verjetnost, da je oseba s pozitivno diagnozo res bolna, je 0,582 (glej tudi sliko 5). Upoštevajte, da je imenovalec Bayesove formule enak verjetnosti pozitivne diagnoze, tj. 0,0464.